任意角的三角函数的定义

Ox －－
Ox －＋
y －＋
Ox ＋－
sin α
cos α
tan α
例 3 确定下列各三角函数值的符号：
（1） cos 2500 （2） sin( ) （3） 4
tan(6720 ) ．
学生口答
强化记忆
教师引导发现公式一
第六章 三角函数
3．由三角函数的定义，可以知道，终边 相同的角的同一三角函数的值相等，由此得 到一组公式
义，及各象限内点的坐标
正、负与角 的余弦值同号；
的符号得出三角函数在各
y 由 tan ＝ ，则当 x 与 y 同号时，正
x 切值为正，当 x 与 y 异号时，正切值为 负．
三角函数在各象限的符号如下图所示：
象限的符号，教师总结口 诀，帮助学生记忆：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦， Ⅲ正切，Ⅳ余弦．
y
y
＋＋ －＋
容颇多，教师可 根据当堂内容布
置相应作业．
5
cos
＝
x ＝
3 3
＝－ ；
r5
5
tan
＝
y4
＝
；
x3
变式 1：已知角 的终边过点 P(12, 5) ，求
角 的正弦,余弦和正切值.
变式 2：已知角 的终边过点
引导学生发现：
一般的，设角 a 终边上任
意一点的坐标为（x,y）,它 与原点的距离为 r,则
sin a y , cos a x ,
r
（2） tan( 11 ) 6
回忆本节课所学知识点：
小
1. 任意角的三角函数的定义
让学生叙述本节所学
梳理知识脉
2. 三角函数的定义域及三角函数值的 知识点以及典型例题及解 络．
符号
结
3. 诱导公式
题步骤．
本节教材内
作
课本习题 1.2A 组第 2，3（2）（3）, 4（2）
业
（3）5， 7， 8(1)(2)。
1.2.1 任意角三角函数的定义(方永富，高一 14 班)
知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数值的符号与角的象限的关系，诱导公式（一）。
过程与方法： 1 理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2 树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3 通过对三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
正切值
学生动手计算
变式 4：已知角 的终边过点 P( 3, m) ，
且 sin 13 。求 m . 13
引进参数，增加 难度
为象限角的三角 函数符号做铺垫
2．由三角函数的定义可知，
新
y sin ＝ ，角 终边上点的纵坐标 y 的
r
正、负与角 的正弦值同号；
x
根据三角函数的定
课
cos ＝ ，角 终边上点的横坐标 x 的 r
与单位圆的交
P(x,y)
点坐标为 (1 ,
3 )，
22
O
x
A(1,0)
学生练习，教师小结
所以
5 sin
3
5 , cos
1 5 , tan
3
32
32 3
5 7
思考：如果将 变为 呢？
3
6
熟悉撑握三角函 数定义
新 小结： S1 画角：在直角坐标系中，作转角等于 α； S2 找点：在角 α 的终边上任找一点 P，使
sin(a k 2 ) sin a
新
cos(a k 2 ) cos a
tan(a k 2 ) tan a
课
学生自己动手，熟悉 转化过程。教师讲解。
熟悉公式并
利用公式一，可以把任意角的三角函数
值，转化为求 0 到 2 的三角函数值
撑握应用。
例 4．求下列各式的值
（1） cos 9 4
说明:(1)当
k (k Z ) 时， 2
的终边在 y 轴上，终边上 任意一点的横坐标 x 都等
说明三角函 数定义的理论根
新 位圆交于点 P(x, y) ,那么:
于 0 ，所以 tan y 无意 据． x
(1) y 叫做 的正弦(sine),记做 sin ,
义,除此情况wenku.baidu.com，对于确定
的值 ，上述三各值都是
情感态度与价值观： 1 使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一 种联系方式 2 学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：三角函数的定义；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义．
【教学过程】
环节
教学内容
r，
tan a y
x
并证明
学生动手计算 学生动手计算
培养学生从特殊 到一般的思想。
通过学生自 己动手测量,加 深学生对三角函 数定义的理解, 引进参数，增加 难度。
5
P(12a,5a)(a 0) ，求角 的正弦,余弦和
正切值
变式 3：已知角 的终边过点
学生动手计算
P(12a,5a)(a 0) ，求角 的正弦,余弦和
课
即 sin y ；
唯一确定的实数.
(2)当 是锐角时，此定义
（2） x 叫做 的余弦(cossine),记做
与初中定义相同；当 不
cos ,
是锐角时，也能够找出三
即 cos x ；
角函数，因为，既然有
（3） y 叫做 的正切(tangent),记做 x
角，就必然有终边，终边 就必然与单位圆有交点
课 OP＝1，并算出该点的纵坐标和横坐标； S3 求值：根据相应三角函数的定义，求该角 的三角函数值．
例 2．已知角 的终边过点 P(3, 4) ，求角 的正弦,余弦和正切值.
解 已知点 P(3, 4) ，则
r＝OP＝ (3)2 (4)2 5
由三角函数的定义，得
sin
＝
y 4
＝
4
＝－
；
r5
5
tan , 即 tan y (x 0) . x
P(x, y) ，从而就必然能够
最终算出三角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角
为自变量，以单位圆上点
的坐标或坐标的比值为函
第六章 三角函数
5
例 1.求 的正弦,余弦和正切值.
3
解：在直角坐标系中，作 AOB 5 ,
3
AOB 的终边
Y
数值的函数，我们将这种 函数统称为三角函数.
师生互动
设计意图
导
复习锐角三角函数定义．
入
师：初中时我们学过锐 角三角函数，当时是怎样定 义的？
以旧引新．
1. 任意角的三角函数定义．
结合上述锐角 的三角函数值的求法,我
们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角
的三角函数.
如图,设 是一个任意角,它的终边与单
教师引领学生识记三角 函数定义