数学建模-第四章-概率统计模型

数
学
建
步骤如下:
模
1.画一个方框□作为出发点，称为决策点。 从决策点画出若干条直线或折线，每一条 代表一个行动方案，这样的直(折)线，称 为方案分枝。分枝数表示可能的行动方案 数。
2.在各方案分枝的末端画一个圆圈○，称 为状态节点或方案节点。从状态节点引出 若干条直线或折线，此分枝称为概率分枝。 每条线表示一种自然状态，在线旁边标出 相应状态发生的概率。
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建 例如，对例4.1.1按期望值准则进行决策，则需要 模 计算各行动方案的期望收益值，事实上
E(A1) 4 0.2 6 0.5 1 0.3 4.1 E(A2 ) 5 0.2 4 0.5 1.5 0.3 3.45 E(A3 ) 6 0.2 2 0.5 1.2 0.3 2.56
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学 1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付 建 18 000元。
模 2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再
作对策：
a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。
b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施 工，支付工程延期损失费20 000元，二是采用应急措施，实施此措施 可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和 应急费用24 000元；30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和 应急费用18 000元;有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费 和应急费用12 000元。
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例如4.4.1投资决策问题若采用最大可能准则可得
P2 m1 jax3{Pj} 0.5
a12 m1iax3 {ai2} 6
因此方案A1最优。
应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较 接近，此决策方法不宜采用。
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2．期望值准则
如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自 然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率 为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每 个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标 的情况选择最优行动方案。
同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同 的方案选择。 4.事件或自然状态N1 ， N2 ， …，Nn 5.结果，即某事件(状态)发生带来的收益或损失值
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建
模
表 4.4.1
自然状态
天
气
情
况
收益值 概 率 选址方案
N1（晴） P1=0.20
N2（阴） P2=0.50
N3（多雨） P3=0.30
A1（甲地）
4
6
1
A2（乙地）
5
4
1.5
A3（丙地）
6
2
1.2
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决策的分类：
1.确定型决策——自然状态只有一种，即n=1；
2.风险型决策——n>1且各种自然状态出现的概率 Pj（j=1，2，…，n）可通过某种途径获得；
3.不确定型决策——各种自然状态下发生的概率 既不知道，也无法预先估计。
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学 4.1.2 风险型决策问题
日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代
企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理
的始终。本节将首先简要说明决策的概念和
分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型
及其应用。
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4.1.1 决策的概念和类型
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模
所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个
最优的或满意的方案付诸实施。
例4.1.1（展销会选址问题） 某公司为扩大市场，要举办一个产品展销
显然，E(A1) 最大，所以采取行动方案A1最佳， 即选择甲地举办展销会效益最大。
有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资， 这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。
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3. 决策树法
决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状 态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象 地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准 则进行决策的一种方法。
会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情 况除了与会址有关外，还与天气有关，天气 分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计 三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3 其收益情况见表4.4.1，现要通过分析，确定 会址，使收益最大。
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建 决策问题通常包含以下要素：
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1.决策者 2.决策的备选方案或策略A1 ， A2，…，Am 3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对
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建
模
3.在各概率分枝的末端画一个三角△，称为末稍
节点。把各方案在各种状态下的益损值标记在末
稍节点右边
4.在决策树上由右向左计算各状态点出的数学期 望值，并将结果标在状态节点上。遇到决策点则 比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣， 并且双线“＋＋”划去淘汰掉的方案分枝，选出 收益期望值最大(或损失值最小)的方案作为最优 方案，将最优方案的期望值标在决策点的上方。
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建 模
下面采用决策树法求解展销会选址问题
甲地
4.1
晴 P（N1）=0.2
△+4
A1
阴 P（N2）=0.5
△+6
多雨 P（N3）=0.1
△+1
4.1
3.45
晴 P（N1）=0.2
△+5
决 策
乙地 A2
阴 P（N2）=0.5
△+4
多雨 P（N3）=0.1
△+1.5
丙地wk.baidu.com
2.56 A3
晴 P（N1）=0.2 阴 P（N2）=0.5
数学建模
（Mathematical Modeling)
数 学 建 模
概率统计模型
数
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概率统计模型
模
决策模型
报纸零售商最优购报问题
经济轧钢模型
线性回归模型
排队论模型 建模举例
重点:概率统计模型的建立和求解 难点:概率统计模型的基本原理及数值计算
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学 建
4.1 决策模型
模
决策问题是人们在政治、经济、技术和
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模
1．最大可能准则
由概率论知识，一个事件的概率就是该事
件在一次试验中发生的可能性大小，概率越 大，事件发生的可能性就越大。基于这种思 想，在风险决策中我们选择一种发生概率最 大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自 然状态的决策方法，这就是最大可能准则。 这个准则的实质是将风险型决策问题转化为 确定型决策问题的一种决策方法。
△+6 △+2
多雨 P（N3）=0.1
△+1.2
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学 例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问 建 题。在有些实际问题中将包括两个或两个以 模 上的决策点，称为多级决策问题，可利用同
样的思路进行决策。
例4.1.2 某工程采用正常速度施工，若无坏天气的 影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预 报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨 天气，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到 小风暴，而使工期推迟15天；另有10%的可能遇到 大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情 况，考虑两种方案：