无穷小的比较ppt课件

且 lim b ( x) 存在( 或 ) , 则 lim b( x) = lim b ( x)
x x0 a ( x)
x x0 a( x) x x0 a ( x)
证明 因 lim b( x) = lim b( x) b ( x)a ( x) x x0 a( x) x x0 b ( x) a ( x) a( x)
定义 设 lim a(x) = 0 lim b(x) = 0
x x0
x x0
（1）如果 lim b(x) = 0 , 则称 b(x) 是比a( x) x x0 a( x)
高阶的无穷小 , 记为b( x) = o(a( x)) （2）如果 lim b( x) = , 则称 b( x) 是比a( x)
因此
lim
x 0
e
x
x
1
= lim y y0 ln1(+y)
=
lim
y0
1 1yln1( +
y)
=
lim 1 y0ln1( + y)
1 y
=
1 ln e
=1
即有等价关系: ex-1~x
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
ln 1+ (x)~x
例2. 证明: 当 x0时, n1+x-1～1 x .
taxn~x, arctxa~xn,
ln1(+x)~x, ex-1~x, 1-coxs~1x2. 2
1+x-1~1x n1+x-1~1x
2
n
(1+x)a-1~ax
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将 x换 成 f(x) 0都成立
定理 设当x x0 时 , a( x) ~ a ( x) , b( x) ~ b ( x)
lim
x 0
xx3
x
=
lim
x 0
0 x3
=0
这种解法是错误的！正确的解法如下.
求 lx i0m taxn x- 3six n
当x0时,
1-cosx~ x2, 2
解
tan x -sin x
1 six n
lim
x 0
x3
=lx i0m x3(coxs-six n)
=
sin lim
x 0
x(1 -cos x3 cos x
由此可见 , 无穷小虽然都是以 0 为极限的变量, 但它们趋向 0 的速度不一样 , 为了反映无穷小
趋向 0 的“快”、 “慢”程度, 我们引 入无穷小的
“阶”的概念。 下面仅给出 x x0 时的无穷小比较的定义, 对于 x x0+ , x x0- , x , x + x -等情况的无穷小比较的定义可类似。
n
证:
lim
x0
n1+x-1
1 n
x
an-bn=(a-b) (a n-1 +an-2b++bn-1)
= lim
x0
n1+xn-1
分子= x
1 n
x
n1+xn-1 +n1+xn-2 + +1
=1
\当x0时, n1+x-1～ 1 x
n
常用等价无穷小: 当 x0时 ,
sin x~x, arcxs~in x,
= lim x x0
b(x)
b
(
x
)
lim x x0
b ( x) lim a ( x) x x0
a ( x) a( x)
= lim b ( x) x x0 a ( x)
(证毕)
例1 求 lim sin 3x = lim 3x = 3 x 0 tan 2 x x 0 2 x 2
lim sin x = lim x =
解
1 -1-x
因为lim1-x
=
x0
x2
1-(1+x)(1-x) lim x0 x2(1-x)
=lim x2 =lim1 =1, x 0 x2(1-x) x 01-x
所 以 当 x 0 时 1 - 1 x - 1 - x 与 x 2 是 等 价 的 无 穷 小 , 即 1 - 1 x - 1 - x x 2 .
但是
(1)
x2 lim
=
lim
x
=0
x0 2x 2 x 0
(2) lxim0 2xx2 =
(3) lim sin x = 1limsinx = 1
x0 2x
2x0 x
2
事实上 x2 0比 2 x 0“快些”,
反之 2 x 0 比 x2 0“慢些”
而 sin x 0 与 2 x 0 的“快”、“慢”差不多。
x)
=
lim
x 0
x. x2 2
x3 cos
x
=
lim
x 0
1 2 cos
第七讲 无穷小量的比较
• 内容提要
无穷小量的比较。
• 教学要求
1. 熟练掌握无穷小的比较； 2. 等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。
由无穷小的性质可知 ,两个无穷小的和、差、积
仍为无穷小 , 但两个无穷小的商会出现不同的情况。
如当 x 0 时 , 函数 2 x , x 2 , sin x都是无穷小。
x x0 a( x)
低阶的无穷小。
（3）如果 lim b(x) = C( 0, 1) 则称 b(x) 与 x x0 a( x)
a( x)是同阶无穷小。
（4）如果lim b(x) = 1 则称b(x)与a(x) 为 x x0 a( x)
等价无穷小, 记为b(x) ~ a(x)
例如
Qlim x3 = 0 \x3 = o(3x) x 0 3x
Qlim sin x = 1 \sin x ~ x x 0 x
Qlxim1 xx2--11
1 = lim
x1 x + 1
=
1 2
(x 0) (x 0)
\x - 1 与 x2 - 1同阶无穷小 (x 1) Qlimx = 0 \x=o(2) (x 0)
x0 2
例 2 比 较 当 x 0 时 , 无 穷 小 1 - 1 x - 1 - x 与 x 2 的 阶 数 的 高 低 .
例如 , 当 x0时
x 3 =o(6 x 2 ); sinx～ x; tanx～ x arcsxin～x
又如 ，
lx im01-xc2osx
=
lim
x0
2 sin
2
x 2
4
(
x 2
)
2
=
1 2
故 x0时 1-coxs是关于 x 的二阶无穷小, 且
1-cox～s
1 2
xBaidu Nhomakorabea
2
例1. 证明: ex-1~x. 证: 令y=ex-1, 则 x=ln 1+(y),且 x 0 时 ,y 0,
x - x x - x
Q x 时 six ， 是 n 无x 穷 不小 是 . ， 无而
正确的解法如下.
lim sin x =limsin(-x)=1 x - x x -x
例 2 求 lx i0m taxn x- 3six n 解 Q 当x 0时 , sin x~x,ta x~ n x .
\lx im 0taxnx-3sin x=