数学物理方法 课件

不要畏惧， 有王老师呢！
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场 §1.6 多值函数
§1.1 复数与复数运算 复数是数的扩张（完善化）
u 自然数 u 减法不封闭→整数 u 除法不封闭→有理数 u 不完备√2
→实数 u 方程可解性→复数
高等学校试用教材
数学物理方法
—— 配套电子教案
梁昆淼 编
高等教育出版社
上课时间: 每学年春季学期 上课地点: 德润楼 主讲教师: 王松平（E-mail: phspwang@qdu.edu.cn） 讲课学时（18周）：（共20周，复习考试2周） 72学时；其中：五月一放假2学时。学分：4学分 学习成绩： 平时成绩10％＋期中10％+期末80%=100% 平时作业: 习题 （梁昆淼书） 考试方式：期中、末考试闭卷
(cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
ϕ + 2 kπ n
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ z = ρe = ρ (cos + i sin ) n n (k = 0,1,2....n − 1)
n n i n
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的 点一一对应 ，复平面上∝ 点 与球面上N相对应，点的幅角 无意义。复平面+ ∝为闭平面 。（全平面扩充平面）。
iϕ
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2 = ρ1 ρ 2ei( ϕ1 +ϕ2 ) = ρ1 ρ 2 [cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin( ϕ1 + ϕ 2 )]
z1 ρ1 i (ϕ1 −ϕ2 ) ρ1 = e = [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 )] z2 ρ 2 ρ2
x 1 x 2 + y1 y 2 x 2 y1 − x 1 y 2 = +i 2 2 2 2 x2 + y2 x2 + y2
2 2 ( x2 + y2 ≠ 0)
(2) 按定义：容易验证加法交换律、结合律，乘法交换律结合律 分配律均成立。
(3)共轭复数： z
= x − iy 与 z = x + iy 互为共轭复数。
z1 + z 2 ≥ z1 + z 2
z1 − z 2 ≤ z1 − z 2
x ≤ z,
y ≤ z
x+ y ≥ z
2) 复数的三角形式和指数形式 用极坐标r,φ代替直角坐标x和y来表示复数z.有
ρ = x2 + y 2 ϕ = arctg ( y / x)
x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ
引 言
1. 数学物理方法：物理学中的数学方法，主要强调 应用数学 解决物理问题。 如：力学中的微分方程，电动力学，量子力学中的篇微分方程等. 2. 特点： 与物理学紧密联系，不是纯数学，为物理学提供数 学工具，它属于物理课程。 用到的数学知识和物理知识多繁杂 3. 如何学习: 必须具备良好的数学基础， 基本的基础物理知识, The key: 下功夫，多做习题 枯燥！ 乏味！ 太难了！ 太重了！
z = z , zz = x 2 + y 2 , z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im z z1 z1 z1 + z 2 = z1 + z 2 , z1 z 2 = z1 z 2 , = z z 2 2
平面上一 点 (x,y) y z=x+iy
(4)复平面： 一对有序 实数(x,y)
A’
N
A
S
例1. 求 ii 解：
ห้องสมุดไป่ตู้ i = e
π i ( + 2kπ ) 2
π −( + 2kπ) 2 = e k = 0, ±1 ± 2 K
i
例2. 求
z −i π 0 < arg < 表示的图形 z +i 4
iϕ z = ρ e 代数式：
则复数z可表示为三角式： z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
ρ= z
ϕ = Argz 分别叫做该复数的模,和辐角
讨论：i) 复数的幅角不能唯一地确定. 如果φ0是其中一个幅角， 则φ=φ0 +2kπ(k=0,±1,±2,…..)也是其幅角，把属于[0, 2 π) 的幅角称为主值幅角，记为 arg z. 0≤arg z <2 π ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零. iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = e 称为单位复数.
1. 复数的基本概念 (1) 复数： 一对有序实数（x,y），记为z=x+i y称为复数（i2=-1）， 1）z1=z2=x1+ iy1=x2+ iy2 ,当且仅当 x1=x2 , y1=y2 规定： 2） z1 + z2=(x1+x2) + i (y1+y2) 3）z1z2=(x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2) 4） x 1 + iy 1 x 1 + iy 1 x 2 − iy 2 = ⋅ x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 − iy 2
z1 z 2 = z1 z2 z1 z1 = z2 z2 Arg z1 = Argz1 − Argz2 z2
Argz1 z2 = Argz1 + Argz 2
(6) 复数的乘方与开方：
非零复数ｚ的整数n次幂为:
z n = ρ n e inϕ = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ )
ρ=1时
学习内容（72学时）：
第一章 复数与复变函数 第二章 复变函数的积分 第三章 幂级数展开 第四章 留数定理 第五章 傅里叶变换 第六章 拉普拉斯变换
第七章 定解问题 第八章 分离变量法 第九章 级数解法本征值问题 第十章 球函数 第十一章 柱函数 第十二章 格林函数,解的积分公式 第十三章 积分变换法
θ
复数x+iy
x
如果把 x 和 y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点 一一对应起来，这个平面叫做复数平面或 z平面，x 轴称为实 轴，y 轴称为虚轴.
(5)复数的几种表示法： 1) 几何表示： 一矢量与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致 。 y z1 z=z1+z2 z=z1-z2 z2 x -z2 y z1 z2 x