“杨辉三角”与二项式系数的性质教案

教学过程
一、复习预习
1．在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数，
2．如果二项式的幂指数是偶数，的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，的二项式系数相等并且最大．
3．二项式系数的和为，即
二、知识讲解
考点1
由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数，借助“杨辉三角”也很容易记忆组合数性质C r n＋1＝C r－1n＋C r n.
考点2
C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n的证明方法．
由(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n.令x＝1得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式中系数问题中很有用，应重点体会掌握，(1＋x)n展开式的组合数解释为：展开式左边是n个(1＋x)的乘积，按照取x的个数可以将乘积中的项按x的取法分为n＋1类：
三、例题精析
【例题1】
【题干】1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()
A．2n－1B．2n－1
C．2n＋1－1D．2n
[答案] C
[解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)
＝1×(2n＋1－1)
2－1
＝2n＋1－1.
【例题2】
【题干】若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)
[答案]2009
[解析]令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.
∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)
＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)
＝2010－1＝2009.
【例题3】
【题干】设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得
(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①
∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得
(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝1
2
(28＋48)＝32 896.
四、课堂运用
【基础】
1. (x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( )
A ．第4项
B ．第4、5两项
C ．第5项
D ．第3、4两项
[答案] B
[解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．
2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1
x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A ．210 B ．120 C ．461
D ．416 [答案] A
[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.
T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝⎛⎭
⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r .
令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 6
10＝210.
【巩固】
1. 设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k ＋…＋(－1)n C n n
＝( ) A ．2n B ．0 C ．－1
D ．1
[答案] D
[解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D.
2. (2008·北京·11)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1
x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．
[答案] 5 10
[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭
⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.
3. 设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )．
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值． [分析] 分析题意→令x ＝1求(1)式的值→ 令x ＝－1求(2)式的值→令x ＝－1求(3)式的值 [解析] (1)令x ＝1，得：
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)2010＝1①
(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010② 与①式联立，①－②得： 2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－32010
2.
(3)∵T r ＋1＝C r 2010·
12010－r ·(－2x )r
＝(－1)r ·C r 2010·
(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，
所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝32010.
【拔高】
1.
求(1＋x －2x 2)5
展开式中含x 4
的项．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①n ＝5；②三项的和与差．
解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．
[解析] 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，
则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x r －k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k .
令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .
∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝4k ＝0. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·
x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为
C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·
(2x )0＝－15x 4.
2. (2010·全国Ⅱ理，14)若⎝⎛⎭⎫x －a
x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案] 1
[解析] 由T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫－a x r
＝(－a )r C r 9x 9－2r 得 9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84， 解得a ＝1.
课程小结
内容小结
利用杨辉三角得出二项式系数的性质，并能够求出各种系数的和，并会求系数的最大项．
课后作业
【基础】
1． (2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[答案] A
[解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝
70，∴奇数的个数是2，故选A..
2．(2010·广东惠州)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋
(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )
A ．第9项
B ．第10项
C ．第19项
D ．第20项
[答案] D
[解析] ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7展开式中含x 4项的系数是C 45·11＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.
【巩固】
1．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·
7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7
D ．8
[答案] C
[解析]原式＝(7＋1)n－C n n＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.
C n－1
n
2．(2010·江西理，6)(2－x)8展开式中不含
．．x4项的系数的和为() A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析](2－x)8的通项式为T r＋1＝C r828－r(－x)r＝(－1)r·28－r C r8x r2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.
【拔高】
1．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.
[证明]∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，
∴(C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n)·(C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n)＝(1＋x)2n，
而C n2n是(1＋x)2n的展开式中x n的系数，
由多项式的恒等定理得
＋…＋C n n C0n＝C n2n.
C0n C n n＋C1n C n－1
n
(0≤m≤n)，
∵C m n＝C n－m
n
∴(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(C n n)2＝C n2n.
2．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．
[分析]由题目可获取以下主要信息：
①n＝5；②三项的和与差．
解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．
[解析]方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，
则T r＋1＝C r5·(x－2x2)r·(x－2x2)r展开式中第k＋1项为T k＋1＝C k r x r－k·(－2x2)k＝(－2)k·C k r·x x ＋k.
令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .
∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝4k ＝0
. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·
x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为
C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·
(2x )0＝－15x 4.。