高二理科数学期中测试题及答案

高二期中理科数学试卷

(选择题,共60 分)

60分)

10、若 f (x) — x 2 2 bln(x 2)在(-1,+

)上是减函数，则 b 的取值范围是( )

A. [ 1,

) B.

(1,

)

C.

(,1]

D.

(,1)

11、点P 是曲线y x 2

lnx

上任意一点， 则点P 到直线y x

2的距离的最小值是 (

1、复数 的共轭复数是( i )

2 A 、 i 2

B 、i 2

2

、 已知f(x)= :3 x -sinx ，贝U f '(1)=( A

1 +cos1 B. 1 sin 1+cos1 C.

3

3

3、 设a R ， 函数 x f x e ae x 的 A. 0 B 1 C 2

4、 定积分 1

0(

2x e x )

dx 的值为 ( ) A. 2 e B e

C 、选择题(共12小题，每小题 5分, )

C

、

D 、2 i

1

sin 1-cos1

3 D.s in 1+cos1

(A)

1

(B)

(C) 2

(D)

2 2

12、对于R 上可导的任意函数 f (x )，且

f '(1)

若满足(x — 1)

f (x) >0,则必有(

A . f (0)+ f (2)

2 f (1) B .f (0)+ f (2) 2 f (1) C. f (0)+ f (2)

> 2 f

(1)

D

.f (0)+ f

(2)

2 f (1)

第口卷(非选择题，共90分)

x ，且

是奇函数，则a 为()

二.填空题(每小题 5分，共20分)

2

13、设 f (x) x,x [0,1]，则 2 f(x)dx = _____________________________

2 x,x (1,2]

e 1 1 1 5、利用数学归纳法证明不等式 1+ 1 +1

+…2^^ 2, n € N *)的过程中，由 n = k 变到n

=k + 1时，左边增加了 1

14、若三角形内切圆半径为 r ,三边长为a,b,c 则三角形的面积

S —((a b

c)；

2

禾U 用类比思想：若四面体内切球半径为 R,四个面的面积为 S, S 2, S 3, S 4; C . 2k —1

项

D . 2k

项

6、由直线 y= x - 4 曲线y 2x 以及x 轴所围成的图形面积为(

则四面体的体积 V _______________

2

15、 若复数z = 1+石.，其中i 是虚数单位，则|z|= __________ .

16、 已知函数f(x) = x 3 + 2x 2— ax + 1在区间(一1,1)上恰有一个极值点，贝U 实数a 的取值范围 A. 40 3 B.13

C.

25

D.15

三、解答题(本大题共 70 分)

7、函数f (x) 2

ax

bx a 2

在x

1处有极

值

10,则点(a,b)为

(A) (3, 3) (B)

4,11)

(3, 3)或(4,11)

(D) 不存在

8、函数f(x) = x 2— 2lnx 的单调减区间是( A . (0,1] [1 , 1] U (0,1] [—1,0) U (0,1]

9、 已知 f(x 1) 2f(x) , f (1) 1 (x N *),猜想 f(x) 2

f (x )的表达式

17、 (10分)实数m 取怎样的值时，复数 z m 3 (m 2 2m 15)i 是:

(1)实数？ ( 2)虚数？ ( 3 )纯虚数？

18、 (12 分)已知函数 f(x) x 3 3x .

3

(1) 求函数f (x)在［3-］上的最大值和最小值. (2) 过点P(2, 6)作曲线y f(x)的切线，求此切线的方程•

A. f (x)

B.

f(x)

C.

f(x)

D.

f(x)

2 2x 1

1 1 19、 (12分)在各项为正的数列

a n 中，数列的前n 项和S n 满足S n — a n

2

a n

⑴求 a 「a 2,a 3；

⑵由⑴猜想数列 a n 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想

3 2

2

20、 ( 12分)已知函数f(x) x ax bx c 在x 与x 1时都取得极值

3

(1)求a,b 的值与函数f (x)的单调区间

参考答案

1、D

2、B

3、D

4、A

5、D

6、A

7、B

8、A

9、B 10、C 11、B 12、C

5

13、—

14、1R ( $ S 2

Q+SJ 15、1

16、[ -1,7)

6

3

17. 解：(1 )当m 2 2m 15 0，即m 3或m 5时，复数Z 为实数；(3分)

(2) 当m 2 2m 15 0，即m 3且m 5时，复数Z 为虚数；(7分)

(3) 当m 2 2m

15 0,且m-3 0，即m 3时，复数Z 为纯虚数；(10分)

18. 解：(I ) f '(x)

3(x 1)(x 1),

3

3

当x [ 3, 1)或x (1-]时，f'(x)

0 ,

[ 3, 1],[1,一]为函数f (x)的单调增区间

2

2

当x ( 1,1)时，f'(x)

0 , [ 1,1]为函数f (x)的单调减区间

3

又因为 f ( 3)

18, f( 1)

2, f (1)

2, f (?) 9

8

所以当x

3时，f(x)min 18

当x

1 时，f (x)max

2 •-

......... 6分 (II )设切点为Q(x o ,x o 3x o )，则所求切线方程为 y (x ； 3X °)

3(x ： 1)(x X 。)

由于切线过点 P(2, 6) ,

6 (x O 3 3x o )

3(x o 2 1)(2 X 。),

解得x o 0或x o 3所以切线方程为y

3x 或 y 6 24(x 2)即

3x y 0 或 24x y 54 0

12分

(2)若关于x 的方程f x

m 0有二个不同的实根，求实

数 m 的取值范围. 22、( 12分)已知函数 f x x

2 a

x

,g x x In x ,其中 a

0. (1 )若x 1是函数h x f : x g x 的极值点，求实数 a 的值；

(2)若对任意的xpX 2

1, e (e 为自然对数的底数)都有

f x 1 >

g x 2成立，求实数a

的取值范围.

⑵猜想a n • n

n 1(n * N )

............. 5分

证明：①当

n

1 时，

a 1

1

0 1,命题成立

②假设

n k 时， a k

.k

k

1成立，

则n

k 1时,

a k

1

S

k 1

S

k

£(a 1.1, k 1 ) (a k 1)

2

a k 1 2 a k

1 1

(a k 1 -) k

■ k 1

1 、 1 /

)(

a k

1

1 ) ■ k

2

a k 1

2

J k x k 1

2 a

k 1

所以 ,a k 1

2

ka k 1

1 0, a

k 1

k 1

, k .

即 n k 1时,命题成立.

由①②知， n N 时,a n n 、n 1 . .........

12分

2

⑵若对x [ 1,2]，不等式f (x) c 恒成立，求c 的取值范围

3

2

21、 ( 12 分)已知函数 f (x) 2x 3x 3.

x 2

19 .解：⑴易求得 a 1 1,a 2 2 1, a 3 3 、、

2

2分