(矩阵对角化)线性代数及其应用
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x1 x2 x3 0
基础解系为
1
0
1 0 ,2 1 .
1
1
0 1 1
令2
1 , 3
2
2 2
,2 ,2
2
1
1
1 2
0
1
1 2
2
1
1, 2, 3即为所求.
标准正交基求法
（i）正交化 设 1, 2,…， r 为向量空间V的一个
基，利用施密特（Schimidt）正交化方法得与
0 1 1
例4
已知向量1
1
,
2
1
,
3
0
为R3的一个基，
1
0
1
把它们化为标准正交基.
解 (i)正交化 令1 1,
第4.1节 向量的内积 长度与正交
在向量代数中给出了向量长度、夹角和数 量积等概念，本节将这些概念推广到 n维向量 空间，在此基础上介绍正交向量组概念和将线 性无关向量组化为正交向量组的一种方法。
向量的内积 向量的长度 正交向量组 Schimidt正交化方法 正交矩阵
1.向量的内积
(1)3维向量的数量积(内积)
1
,
2
1
,试求一非零向量
3
,
1
1
使1，2，3为正交向量组. 解 依题意 3=（x1, x2, x3)T应满足
[3 ,1 ] [3 ,2 ]
0 0
即
x1
x2 x2
x3 x3
0 0
2
由
A
1 0
1 1
1 1
1 0
2
0 1
2 1
,得基础解系
1 1
取3
1
,即为所求
.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 施密特（Schimidt）正交化方法
由一组线性无关向量组出发，获得与其等价正 交向量组的过程称为向量组的正交化过程.
定理 (施密特正交化方法) 给定n维向量空间Rn的任
一线性无关向量组 1,2,···, r ,令
1 1,
2
2
[2 [1
, ,
1 1
] ]
1
,L
,
r
r
[r , [1,
称为向量α与β的夹角.
( [, ]2 [,][ , ]___ 许瓦兹不等式 )
若[ , ]=0，称向量与β正交.
3. 正交向量组 定义1 非零向量组中,若任意两个向量都正交,称这 个向量组为正交向量组.
如下向量组是否为正交向量组?
10 00 01
1 01,,2211,,33 0
01 01 10
例1
2 4
已知向量
1
,
2
，将向量 单位化，并求向量
3 3
1
1
, 的内积.
解
4
30
2
42 22 32 (1)2
30, 0
30
.
3
30
1
30
[, ] 24 1 2 (3) 3 1(1) 0
向量的夹角
arccos [ , ] ( 0, 0),
1] 1]
1
[r , [ 2 ,
2] 2]
2
L
[ [r
r,
1
r ,
1 ] r1 ]
r
1
则向量组 1, 2,…, r为正交向量组且与1, 2, ···, r 等价.
1
例3 设有向量1 1，试求非零向量2 ,3 ,使
1
1， 2， 3为 正 交 向 量 组.
解 设所求向量为x，则 [x, 1]=0,即
第4章 矩阵的对角化
向量的内积 长度与正交 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 Mathematica软件应用
第4章 矩阵的对角化
矩阵特征值理论在许多实际问题的解 决中起着重要作用.本章着重介绍矩阵的特 征值和特征向量的概念、性质，给出矩阵 与对角矩阵相似的条件、计算方法，并对 实对称矩阵的对角化进行了讨论.
之等价的正交基1, 2,…, r .
（ii）单位化（标准化）
令
i
i i
,(i 1, 2, , r )
则1,2 ,r 即为所求标准正交基.
注 ① 若求与线性无关向量组等价的正交向量组，只要对
该向量组应用上面过程（ i ）正交化即可; ② 若η1，η2，…，ηr是向量空间V的一个正交基, 则
只要对该向量组应用上面过程（ i i ）进行单位化即可.
由 a12 a22 a32 | |2 得
(2)n维向量空间内积
内积的定义
a1
b1
设 向 量
aan2记,
b2 bn
Rn,称数
a1b1 a2b2 anbn [ , ] 为向量与内积.
用矩阵记号可表示为 Tβ 或 βT .
性质 (ⅰ) [ , ] [ , ]; (ⅱ) k, m R,[k m , ] k[, ] m[ , ]; (ⅲ) [, ] 0, 当且仅当 =0时，[, ]=0.
已知向量, R3, 称实数·=||||cos 为与
的数量积(内积),其中||,||分别为向量, 的模,为
与 的夹角. a1
b1
当向量
a2
,
b2
R3
,
有内积的坐标表示：
a3
b3
a1b1 a2b2 a3b3
当向量, 相互垂直时，我们称, 正交.因此有 , 正交数量积· =0.
故该正交向量组1,2 ,L ,s线性无关.
注 ① 基本单位向量组ε1,ε2,…,εn是Rn的一个标准 正交基;
② 若 1, 2,…, r 是向量空间V的一个标准正交 基, 则V中任意向量可由其线性表示为
=[ , 1] 1+[ , 2] 2+…+[ , r] r.
1 0
例2
设有向量1
定义2 正交向量组中,若每个向量都是单位向量,称
这个向量组为标准正交向量组. 即若1, 2,…,n为
标准正交向量组，则
[i
,
j
]
1, 0,
i i
j j
i, j 1, 2,L
,n
上例中1, 2, 3均为单位向量且两两正交, 该
向量组为标准正交向量组.
定义3 设1, 2,…, r是向量空间V的一个基，如果
1, 2,…, r是一个标准正交向量组,则称1, 2,…, r
为V的一个标准正交基.
反之如何？
定理 正交向量组是线性无关的向量组.
证 设有数k1, k2,L , ks，使
k11 k22 L kss 0,
两边同时与i 作内积,得
ki i ,i 0, 但i 0 ki 0(i 1, 2,L , s).
2. 向量的长度、夹角
定义（向量的长度） [, ] a12 a22 an2 ,
称为n维向量的长度(范数或模).
注：长度为1的向量,称为单位向量.
0 称为的单位化向量.
性质 (i) 0,当且仅当 0 时, 0;
(ii) k R, 有 k k ;
(iii) .
基础解系为
1
0
1 0 ,2 1 .
1
1
0 1 1
令2
1 , 3
2
2 2
,2 ,2
2
1
1
1 2
0
1
1 2
2
1
1, 2, 3即为所求.
标准正交基求法
（i）正交化 设 1, 2,…， r 为向量空间V的一个
基，利用施密特（Schimidt）正交化方法得与
0 1 1
例4
已知向量1
1
,
2
1
,
3
0
为R3的一个基，
1
0
1
把它们化为标准正交基.
解 (i)正交化 令1 1,
第4.1节 向量的内积 长度与正交
在向量代数中给出了向量长度、夹角和数 量积等概念，本节将这些概念推广到 n维向量 空间，在此基础上介绍正交向量组概念和将线 性无关向量组化为正交向量组的一种方法。
向量的内积 向量的长度 正交向量组 Schimidt正交化方法 正交矩阵
1.向量的内积
(1)3维向量的数量积(内积)
1
,
2
1
,试求一非零向量
3
,
1
1
使1，2，3为正交向量组. 解 依题意 3=（x1, x2, x3)T应满足
[3 ,1 ] [3 ,2 ]
0 0
即
x1
x2 x2
x3 x3
0 0
2
由
A
1 0
1 1
1 1
1 0
2
0 1
2 1
,得基础解系
1 1
取3
1
,即为所求
.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. 施密特（Schimidt）正交化方法
由一组线性无关向量组出发，获得与其等价正 交向量组的过程称为向量组的正交化过程.
定理 (施密特正交化方法) 给定n维向量空间Rn的任
一线性无关向量组 1,2,···, r ,令
1 1,
2
2
[2 [1
, ,
1 1
] ]
1
,L
,
r
r
[r , [1,
称为向量α与β的夹角.
( [, ]2 [,][ , ]___ 许瓦兹不等式 )
若[ , ]=0，称向量与β正交.
3. 正交向量组 定义1 非零向量组中,若任意两个向量都正交,称这 个向量组为正交向量组.
如下向量组是否为正交向量组?
10 00 01
1 01,,2211,,33 0
01 01 10
例1
2 4
已知向量
1
,
2
，将向量 单位化，并求向量
3 3
1
1
, 的内积.
解
4
30
2
42 22 32 (1)2
30, 0
30
.
3
30
1
30
[, ] 24 1 2 (3) 3 1(1) 0
向量的夹角
arccos [ , ] ( 0, 0),
1] 1]
1
[r , [ 2 ,
2] 2]
2
L
[ [r
r,
1
r ,
1 ] r1 ]
r
1
则向量组 1, 2,…, r为正交向量组且与1, 2, ···, r 等价.
1
例3 设有向量1 1，试求非零向量2 ,3 ,使
1
1， 2， 3为 正 交 向 量 组.
解 设所求向量为x，则 [x, 1]=0,即
第4章 矩阵的对角化
向量的内积 长度与正交 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 Mathematica软件应用
第4章 矩阵的对角化
矩阵特征值理论在许多实际问题的解 决中起着重要作用.本章着重介绍矩阵的特 征值和特征向量的概念、性质，给出矩阵 与对角矩阵相似的条件、计算方法，并对 实对称矩阵的对角化进行了讨论.
之等价的正交基1, 2,…, r .
（ii）单位化（标准化）
令
i
i i
,(i 1, 2, , r )
则1,2 ,r 即为所求标准正交基.
注 ① 若求与线性无关向量组等价的正交向量组，只要对
该向量组应用上面过程（ i ）正交化即可; ② 若η1，η2，…，ηr是向量空间V的一个正交基, 则
只要对该向量组应用上面过程（ i i ）进行单位化即可.
由 a12 a22 a32 | |2 得
(2)n维向量空间内积
内积的定义
a1
b1
设 向 量
aan2记,
b2 bn
Rn,称数
a1b1 a2b2 anbn [ , ] 为向量与内积.
用矩阵记号可表示为 Tβ 或 βT .
性质 (ⅰ) [ , ] [ , ]; (ⅱ) k, m R,[k m , ] k[, ] m[ , ]; (ⅲ) [, ] 0, 当且仅当 =0时，[, ]=0.
已知向量, R3, 称实数·=||||cos 为与
的数量积(内积),其中||,||分别为向量, 的模,为
与 的夹角. a1
b1
当向量
a2
,
b2
R3
,
有内积的坐标表示：
a3
b3
a1b1 a2b2 a3b3
当向量, 相互垂直时，我们称, 正交.因此有 , 正交数量积· =0.
故该正交向量组1,2 ,L ,s线性无关.
注 ① 基本单位向量组ε1,ε2,…,εn是Rn的一个标准 正交基;
② 若 1, 2,…, r 是向量空间V的一个标准正交 基, 则V中任意向量可由其线性表示为
=[ , 1] 1+[ , 2] 2+…+[ , r] r.
1 0
例2
设有向量1
定义2 正交向量组中,若每个向量都是单位向量,称
这个向量组为标准正交向量组. 即若1, 2,…,n为
标准正交向量组，则
[i
,
j
]
1, 0,
i i
j j
i, j 1, 2,L
,n
上例中1, 2, 3均为单位向量且两两正交, 该
向量组为标准正交向量组.
定义3 设1, 2,…, r是向量空间V的一个基，如果
1, 2,…, r是一个标准正交向量组,则称1, 2,…, r
为V的一个标准正交基.
反之如何？
定理 正交向量组是线性无关的向量组.
证 设有数k1, k2,L , ks，使
k11 k22 L kss 0,
两边同时与i 作内积,得
ki i ,i 0, 但i 0 ki 0(i 1, 2,L , s).
2. 向量的长度、夹角
定义（向量的长度） [, ] a12 a22 an2 ,
称为n维向量的长度(范数或模).
注：长度为1的向量,称为单位向量.
0 称为的单位化向量.
性质 (i) 0,当且仅当 0 时, 0;
(ii) k R, 有 k k ;
(iii) .