专题三 第2讲

三角变换与解三角形（文科）

三角函数公式 正弦定理 余弦定理 面积公式

热点一 三角恒等变换

例1 (1)(2017·河南省洛阳市统考)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝2

2

(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a >b >c

B ．b >a >c

C ．c >a >b

D ．a >c >b (2)已知sin α＝

55，sin(α－β)＝－1010

，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6

跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π

4－α，则sin 2α的值为( )

A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17

18

(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝1

3，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 热点二 正弦定理、余弦定理

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C

＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．

变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝

b 2＋

c 2－a 2

2bc

. 例2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (1)求A ；

(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .

跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝(2b －c )cos A . (1)求角A ；

(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值．

热点三 解三角形与三角函数的综合问题

例3 (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2.

(1)当x ∈⎣⎡⎦

⎤0，π

2时，求f (x )的值域； (2)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b

a ＝3，sin (2A ＋C )sin A ＝2＋2cos(A

＋C )，求f (B )的值．

跟踪演练3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝⎛⎭⎫

π12＝2. (1)求m 的值；

(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝⎛⎭⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC 的周长．

真题体验

1．(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.

2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝1

3

，则sin β＝________.

3．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1

6

，则tan α＝________. 4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.

押题预测

1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2

3，sin B ＝5cos C ，并且

a ＝2，则△ABC 的面积为________．

2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π

3.

(1)求ω的值；

(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．

A 组 专题通关

1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c ＝3，cos A ＝1

4，则b 等于( )

A. 2

B.3 C ．2 D ．3

2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3 B.

33 C ．－3

3

D ．－ 3 3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α

2的

值为( ) A ．－12 B.12 C ．－13 D.1

3

4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝22

3，b cos A

＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π 5．若sin 2α＝

55，sin(β－α)＝10

10

，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π

4

6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭

⎫α－π

4＝________. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．

8.(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos ∠BAD ＝－714

，sin ∠CBA ＝

21

6

，则BC 的长为________． 9．(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)． (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．

10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2＝－f (x )，若其图象向左平移π

6个单位长度后得到的函数为奇函数．

(1)求f (x )的解析式；

(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．