高考数学导数与函数的极值、最值

高考数学导数与函数的极值、最值

最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).

知识梳理

1.函数的极值与导数

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，

①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

2.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()

(2)函数的极大值不一定比极小值大.()

(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导数符号异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.函数f (x )＝－x 3＋3x ＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2

D.极小值－1，极大值3

解析 因为f (x )＝－x 3＋3x ＋1，故有y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝±1，

于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

x (－∞，－1)

－1 (－1，1) 1 (1，＋∞)

f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )

极大值

极小值

所以f (x )的极小值为f (－1)＝－1，f (x )的极大值为f (1)＝3. 答案 D

3.(选修2－2P32A4改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A

4.函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________. 解析 y ′＝6x 2

－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.

∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

23＝－827，f (2)＝8, 所以最大值为8.

答案 8

5.函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝1处有极值，则常数a ＝________.

解析 ∵f ′(x )＝1

x －a ，∴f ′(1)＝1－a ＝0，∴a ＝1，经检验符合题意. 答案 1

6.函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2上的最大值为________；最小值为________.

解析 ∵y ＝x ＋2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π2，令y ′＝0，

得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤

π6，π2时，y ′<0，故x ＝π6时，∴

y 最大＝y 极大＝π6＋3，又x ＝0时，y ＝2；x ＝π2时，y ＝π2，∴y 最小＝π

2. 答案 π6＋3 π2

考点一 用导数解决函数的极值问题 【例1】 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2－2x －4ln x ；

(2)f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3

a (a ∈R 且a ≠0). 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）

x ，

令f ′(x )＝0得x ＝2或－1(舍).

随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

x (0，2) 2 (2，＋∞)

f ′(x ) － 0 ＋

f (x )

极小值

∴f (x )有极小值(2)由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －2a .

令f ′(x )＝0得x ＝0或2

a .

当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3

a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2a ＝－4a 2－3a ＋1.

当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：

∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3

a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2a ＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3

a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2a ＝－4a 2－3a ＋1.

规律方法 函数极值的两类热点问题

(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：

①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围.

讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.

【训练1】 (1)设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .若f (x )在R 上无极值点，则实数a 的取值范围为________.

(2)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )