变差函数

1变差函数（Variogram）基础

变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。

这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。

通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。

1.1变差函数原理与数据分析

1.1.1变差函数的原理

变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。

Sample variogram

从一组实验样本数据中计算结果。

Variogram model

根据理论变差函数模型拟合的结果。

Transition

曲线类型。常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。

Plateau

在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。

Range

变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。

Sill

基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。描述了两个不相干的样本间的差异性。当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。

Nugget

块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。

1.1.2变差函数的数据分析

在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。

由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。

1.1.

2.1变差函数的方向

由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。通常需要从主方向（Major）和次方向（Minor）以及垂向（Vertical）。

●主方向：表示在该方向上数据点之间有最大的相关性。方向角度是从正北

向顺时针得到的。

●次方向：与主方向垂直相交的方向。

变差函数倾角（Dip）：表示主方向与水平面的倾角。

各个方向上的数据分析过程是相似的。但是垂向上认为是各项同性的，所以没有考虑方向性。

1.1.

2.2平面上的变差函数

Petrel中数据分析方法和术语由下图给出。

●Orientation：正北方向顺时针旋转得到的该方向角度。

●Tolerance：数据分析的方向上的容差角度。

●Bandwidth：为了防止数据间距离太大，设置带宽。

●Search distance：最大的搜索距离。

●Lag：变程上的小单元。

●Lag tolerance：Lag之外，但是容差之内的数据被认为是该步长的一部分。

例如，容差为50%表示所有数据点都属于一个步长，大于50%表示一些数据点

被认为是两个步长，小于50%表示一些数据不被考虑。

如下图所示，Petrel根据水平方向的搜索距离计算数据点，而垂向搜索距离用来设置垂向容差。

1.1.

2.3垂向上的变差函数

搜索距离和步长间隔与平面上的一致。Petrel中认为垂

向上式各项同性的，所以不考虑方向性。Petrel根据垂向搜

索距离计算垂向上的数据点，而水平搜索距离用来设置横

向容差。

1.2变差函数类型及理论模型

1.2.1变差函数类型

当进行变差函数分析时，可以使用不同的类型。Petrel中提供一下几种类型。

Classical

变差函数定义为点对差的平方的算术平均值的一半。

h: 滞后距

N(h): 数据对的个数

xi and yi : 一个数据对

Pairwise relative

如果其它方法不能体现空间差异性，可以使用该种方法。该种方法要求变量为正数。

Logarithmic

通过对原始数据取对数，再计算变差。

Semimadogram

当构造的尺度较大时，可以利用数据间差的绝对值代替差的平方。该种方法不能用于估计块金值。

1.2.2变差函数模型

Petrel中提供三种变差函数理论模型。这三种模型都存在基台值和块金值。

Exponential指数模型

指数模型中变差函数渐渐地接近基台值c。在实际变程a处，变差函数为0.95c。

Spherical球状模型

接近原点处，变差函数成线性，在变程a处达到基台值。

Gaussian高斯模型

变差函数渐进的逼近基台值c。在实际变程a处，变差函数为0.95c。模型在原点处为抛物线。高斯模型有拐点。

1.3参考文献

Clayton V. Deutsch, Andre G. Journel: GSLIB, Second Edition, 1998.

Edward H. Isaaks, R. Mohan Srivastava: An Introduction to Applied Geostatistics, 1989.

2实验数据分析

在完成构造建模之后，就建立了油藏模型的骨架。下一步往模型网格中填充油藏属性。因此需要离散沉积相或者孔渗饱等等。导入到Petrel中的井数据将会被用作控制点，从而约束下面差值和模拟算法。

这些模拟算法需要一些参数来描述数据点之间的空间相关性。所以，发现数据点的空间分布特征非常重要（例如，空间中如何变化、变化是突变还是渐变、有没有各向异性、数据分布类型）。这一步虽然耗时较多，但是非常必要的。

在Petrel中，这一步被称为Data analysis。

2.1Data analysis and Variography数据和变差分析

2.1.1为什么进行数据分析

在前一节解释过，在进行三维属性建模中，模拟算法需要一些参数来定义数据点的分布特征。确切的说，数据分析的目的是回答如下问题：

1.在平面和垂向上岩相、沉积相的分布是否有趋势？

2.地震数据和相数据之间有无关系？

3.建模中需要的变差函数参数是什么（三个方向的变差、块金值、变差函数的

类型等）？

2.1.2什么是变差函数

变差函数：在某一具体方向上，用来描述数据间空间差异性的数学方法。

变差结构分析：从有效数据中得到变差函数的过程被称为Variography。

变差结构分析包括3个步骤：

1.计算实验变差函数

2.建立变差函数理论模型

3.取得变差函数各参数

第1步中收集所有实验点对，点对之间被lag distance（滞后距、步长）分开。对