导数与微分练习题及习题详细解答

第二章 导数与微分

练习题及习题详细解答

练习题2.1

1．已知质点作直线运动的方程为2

3s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度． 解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d s

v t t

=

=．代入5t =，得10v =．

2．求曲线cos y x =

在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =

在π(6点切线的斜率 ππ6

6

1(cos )(sin )2

x x k x x =='==-=-

，

所以，切线方程为1π

()226

y x -

=--

，即612π=0x y +-．

法线方程为π

2()26

y x -

=-

，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数3

2,0()31,013,1

x f x x x x x ⎧≤⎪

=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．

解 在0x =处，0

lim ()lim 22x x f x --→→==，0

lim ()lim(31)1x x f x x ++

→→=+=， 由于0

lim ()lim ()x x f x f x -+

→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，1

1

lim ()lim(31)4x x f x x --

→→=+=，3

11

lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．

又0

0(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f x

f x x

-

--∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 23

00(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x

+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，

所以可导．

4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：

000

(5)()(1)lim

x f x x f x x ∆→-∆-∆； 000

(2)()

(2)lim h f x h f x h →+-

解 （1）

000000

(5)()(5)()

55()55lim

lim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;

(2)

000000

(2)()(2)()

22()22lim

lim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．

5．求抛物线2

y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．

解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-． 对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．

练习题2.2

1．求下列函数的导数： （1）100

(21)

y x =-； （2）2

2e x

x

y +=；

（3）sin(3π)y x =+； （4）2

cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2

ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999

100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）2

2

222e (2)e (41)x

x

x

x

y x x x ++''=+=+；

（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；

（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )x

x

x

x

x

y x x x x x x '''=+=+=+； （6）2

22

12(1)11x y x x x

''=

⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）2

2

csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；

（9）22

13

(31)1(31)1(31)y x x x ''=

⋅+=++++；

（10

）(41)y x ''=

+=

2

．设y =

d d y x ．

解

对于y =

[]1

ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3

y x x x x =

+++-+-+ 两边对x 求导，得

111111()31234

y y x x x x '=+--++++ 所以

1111()1234

y x x x x '=

+--++++ 3．求曲线3

1x t

y t =+⎧⎨=⎩

上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则

32

000

d ()30d (1)1

t t t y t t k x t ==='===

='+，

于是，所求切线方程为

0y =，即x 轴．

4．求由方程3

3

30y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x

． 解 方程两边对x 求导，可得

22333()0y y x y xy ''--+=

由上式解出y '，便得隐函数的导数为