浙教版初中数学八年级上册直角三角形(提高)知识讲解

直角三角形（提高）

【学习目标】

1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．

2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质, 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.

3. 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.

4. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．

【要点梳理】

要点一、直角三角形的概念

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.

要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.

要点二、直角三角形的性质

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.

含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.

要点三、直角三角形判定

两个角互余的三角形是直角三角形.

在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，

求证：△ABC是直角三角形．

证明：∵AD=CD，

∴∠A=∠1．

同理∠2=∠B．

∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，

即2（∠1+∠2）=180°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形．

【典型例题】

类型一、直角三角形性质的应用

1、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．

【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半得到CM=1

2

AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=

1

2

AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】

证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，

∴CM=1

2

AB=BM，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴CB=1

2

AB=BM，

∴CM=CB，

∵D为MB的中点，

∴CD⊥BM，即CD⊥AB．

【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．

举一反三：

【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数．

【答案】解：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，

那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，

所以x+4x+90°=180°，

x=18°，4x=72°，

答：三角分别为18°，72°，90°．

类型二、含有30°的直角三角形

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．

（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；

（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．

【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；

（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．

【答案与解析】

证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，

∴∠ACD=∠B=30°，

∵∠C=90°，CD⊥AB，

∴AB=2AC，AC=2AD，

∴AB=4AD，

∴BD=3AD．

（2）取AB的中点O，连接CO，

∵BD=3AD，

∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，

∵∠C=90°，O是AB的中点，

∴OC=OA=2x，

∴OD＝x＝1

2 CO，

∵CD⊥AB，

∴∠OCD=30°，

∴∠COD=60°，

∵OA=OC，

∴△ACO是等边三角形，

∴∠A=60°．

【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 1

2

DC．

【答案】解：如图，连接DB．

∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，

∴∠A=∠ABD，

∵BA=BC，∠B=120°，

∴∠A=∠C=1

2

（180°-120°）=30°，

∴∠ABD=30°，

又∵∠ABC=120°，

∴∠DBC=120°-30°=90°，

∴BD=1

2 DC，

∴AD=1

2 DC．

3、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高,求CD的长．

【思路点拨】过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．

【答案与解析】

解：∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=15°，

∴∠DAC=30°，

∵AB=AC=2a，

∴在直角△ACD中CD= 1

2

AC=a．

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．

举一反三：

【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=1

2

∠BAC，过点D作DE

⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=1

2 DB．

【答案】

解：∵DE⊥AB，