有限元第3章-杆件结构的有限元法_虚功原理上课讲义

应该是 44 阶的。
第二步：选择适当的位移函数 单元内的位移函数，也称为插值函数或试探函数。
它应满足单元的边界条件。 一般常选择多项式作为位移函数。多项式的项数
与单元节点数和节点处的假设已知条件数有关。 因为杆单元沿 y 方向没有位移，也没有对应的
力，所以可以直接写出两者的关系为
F Fyy((12ee))00 00vv12
将 和 F(e) x
F(e) y
的表达式合写在一起就是
F ( e ) K ( e )
其中
F
(e x1
)
F (e )
F F
(e y1
(e x2
) )
F
(e y2
)
u
1
v
1
u2
v 2
1 0 1 0
K(e) AE 0 0 0 0 L 1 0 1 0
力W i所nt 做V 的*功d为V VB u u1 2 * * TEB u u1 2 dV
VBx* TEBx dV Vx*TBTEBxdV
根据虚功原理 Wint Wext 有
x * T F x ( e ) Vx * T B T E B xdV
两边消去
* T x
F x ( e ) V B T E B x d V B V T E B d xV
即
F x ( e ) K x ( e ) x
其中
K x (e) VB TE B dV B TE B V dV
1 1L L E 1L1L A L E L A 1 1 1 1
第四步：求应变—位移—节点位移的关系 单元内任意一点的应变可以通过对该点的位移的
微分得到，并最终表示为单元的节点位移
xd du x20 1 1 2 0 11 1L10L u u1 2
1L 1L u1 B u1
u2 u2
第五步：求应力—应变—节点位移间的关系
E E B u 1 E 1L1L u 1
u 2
u 2
第六步：节点位移和节点力的关系
虚功原理：外力在虚位移上所做的功，等于内应 力在相应虚应变上所作的功。
Байду номын сангаас
外力在虚位移上所做的功为
T
W ex t x * F x (e)
* x
uu12**
F(e) x
FFxx((12ee))
设系统的初始内应力为0，虚应变为 * ，则内应
有限元第3章-杆件结构的有限元 法_虚功原理
节点的位移向量和力向量为
F(e) F F12((ee)) F F Fxxy(((1 1 2eee)))
1 2
u v1 1 u2
Fy(2e)
v2
因为向量包含四个分量，所以单元刚度矩阵 K(e)
（3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。
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下面建立 x 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 x 的位移向量为
xu12x
第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系
由 x 1 0 ,u u 1 ;x 2 L ,u u 2 可写出
u u1 2 1 1 L 0 1 2 A 1 2
由此可得
1 2 A 1 u u 1 2 1 1L1 0 L u u 1 2
0
0
0
0
小结：
（1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。
（2）本章的方法具有一般性。