第六章空间力系案例

力作用点D的坐标为
§6-4 空间一般力系的平衡条件
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。
合力的大小
方向余弦
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零， 即
空间汇交力系 的平衡方程
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
再将力
向x、y轴投影，得
则力
沿各轴的分力为
例6—2 已知力沿直角坐标轴的解析式为 试求这个力的大小和方向，并作图表示。 解： 力的大小
方向余弦
则角度为
§6-3 力对轴的矩
力F对z轴的矩就是分力Fxy对 点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。 正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。 也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
力系主矢的大小
方向余弦
力系对点O的主矩的大小
方向余弦
飞机在飞行时受到重力、升力、推力和阻力等力组成的空间 任意力系的作用。将力系向飞机的重心O简化。 力 三个作用于重心O的 正交分力 有效推进力； 有效升力； 侧向力； 力偶矩矢 的分力偶 三个绕坐标轴
滚转力矩； 偏航力矩； 俯仰力矩。
空间任意力系平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和 对于任一点的主矩都等于零，即
即 力对轴之矩的解析式
例6—3 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图 所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。如 果CD＝a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长 度都等于l。试求力F对x、y和z三轴的矩。 解法一 解： 将力F沿坐标轴分解
根据合力矩定理
解法二 力F在x、y、z轴的投影为
又有 解得
每个方程中最好只包含—个未知量。一般，力矩方程比 较灵活，常可使一个方程只含一个未知量。 为此，在选投影轴时应尽量与其余未知力垂直；在选 取矩的轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。
投影轴不必相互垂直、取矩的轴也不必与投影轴重 合。 无论怎样列方程，独立平衡方程的数目只有6个。
例 6—7 如图所 示均质长方板由 六根直杆支持于 水平位置，直杆 两端各用球铰链 与板和地面连接。 板重为 P，在 A 处 作 用 一 水 平 力 F， 且 F=2P。求各杆 的内力。
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。 例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
例6—4 如图所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在 地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D， 连线CD平行于x轴。已知：CE=EB＝DE， 。CDB平面与水平面 间的夹角 ，物重 。如起重杆的重量不计，试求起 重杆所受的压力和绳子的拉力。 解：取起重杆AB与 重物为研究对象。 取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
，使y轴向下，再
由以上三式可得计算重心坐标的公式，即
如果物体是均质的，单位体积的重量 小体积，物体总体积为 ，将
＝常值,以 表示微 代入上式，得
均质物体的重心与其单位体积的重量(比重)无关，仅决定于物体的 形状。这时的重心称为形心。
均质等厚薄壳的重心（面积的重心）公式
注：曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的 一点。
自动满足。
因此，空间平行力系只有三个平衡方 程，即：
例6—5 如图所示的三轮小车，自重P＝8kN，作用于点E，载 荷 ，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。 解：以小车为研究对象。
解得
例6—6 如图所示，皮带的拉力 ，曲柄上作用有铅垂力F = 2000N。已知皮带轮的直径D＝400mm，曲柄长R＝300mm， 皮带 1 和 2 与铅垂线间夹角分别为 ， 。求皮带拉 力和轴承反力。 解：以整个轴为研究对象。
例2 试求如图所示振动沉桩器中的偏心块的重心。已知 R= 100mm， r=17mm，b=13mm。 解：将偏心块看成是由三部分组成，即半径为 R的半圆 ，半径为r+b的半圆 和半径为 r 的 小圆 (切去的部分)。
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空间力偶系的合成与平衡条件
任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和，即
合力偶矩矢的解析表达式为
合力偶矩矢的大小
方向余弦
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有
源自文库
欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系的平衡方程
将物体分割成许多微小体积， 每小块体积为 所受重力为 ， 。
这些重力组成平行力系
合力
取直角坐标系Oxyz，使重力及其合力与 z 轴平行。设任一微 体的坐标为 xi ， yi ，zi ，重心C的坐标为 xc ， yc ， zc 。
根据合力矩定理，对x轴取矩，有
对y轴取矩有
将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针转 对x轴取矩，得
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
(2)当力与轴平行时
(此时
)。
力对轴的矩的单位为N· m
空间一般力系的合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于各分力对同一轴的 矩的代数和。
力对轴之矩的解析表达式 力作用点A的坐标为A(x，y，z) 力在三个坐标轴上的投影分别 为X、Y 、Z， 根据合力矩定理，得
第六章 空间力系
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系：力的作用线是空间分布的力系。 空间汇交力系 空间平行力系 空间一般力系
§6-2 力在直角坐标轴的分解和投影
一、力在直角坐标轴上的投影 a)一次投影法（直接投影法）
b) 二次投影法（间接投影法） 当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时
力F
解：取长方体刚板为研 究对象，各支杆均为二 力杆，设它们均受拉力。
解得
（压力）
解得
解得
解得
§6—5 重心
1．概念及坐标公式 平行力系中心 重力是一个分布力系，可视为空间平行力系。 一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力。 重心：不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平 行分布重力的合力作用线通过的此物体—个确定的点。 重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影 响物体的平衡和稳定。 通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式。这些 公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压 力中心等。
列平衡方程
解得
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素
(1)力偶矩的大小；
(2)力偶作用面的方位；
(3)力偶的转向。
空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示： 矢的长度表示力偶矩的大小
矢的方位与力偶作用面的法线 方位相同，
矢的指向与力偶转向的关系服 从右手螺旋规则。 注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
投影
坐标平面 Oxy 上，力矢量Fxy z轴上投影
x和y 轴 上投影
二、力沿直角坐标轴的分解 以 、 、 表示力F沿直角坐标 轴x、y、z的正交分量
力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴 的正交分矢量间的关系可表示为： 力F的 大小 方向余弦
例6—1 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用。已 知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ，以求力 沿 x、y 和z轴的分力。 解：先将力Fn向z轴和Oxy平面投影，得
（三个独立的平衡方 程，求解三个未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
力的平移定理
空间任意力系
空间汇交力系 空间力偶系
空间汇交力系合成一力，作用线通过点O， 其大小和方向等于力系的主矢，即
空间力偶系合成为一力偶，等于各附加力偶矩矢的矢量和，又 等于原力系各力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点O的主矩
例1 试求Z形截面重心的位置，其尺寸如图所示。
解：将该图形分割为三个矩形。重 心分别 ， ， ； 面积分别为 ， ， 。 由图得
该截面重心的坐标
(b)负面积法(负体积法) 若在物体或薄板内切去一部分(例如有空穴或孔的物体)，则 这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只 是切去部分的体积或面积应取负值。
均质等截面细长线段的重心（线段的重心）公式
注：曲线的重心一般不在曲线上。
2. 确定物体重心的方法 如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体 的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。 (1)用组合法求重心 (a)分割法 若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的 重心是已知的，那么整个物体的重心坐标