第九章命题逻辑

3.证明永真蕴涵式AB的方法: (1) 利用真值表: 证明公式A→B为重言式。 (2) 演绎推理： a）证明A为真时B为真. b) 证明B为假时A为假。
例1 证明 (P→Q)∧¬Q ¬P。 证明:设 (P→Q)∧¬Q为真, 则 P→Q和¬Q同为真; 因此Q为假;从而P为假; 所以¬P为真。 例2 证明(P→Q)∧(Q→R) P→R。 证明:设 P→R为假, 则P为真而R为假; 对Q分两种情况讨论: (a) 若Q为真,则因R为假,故Q→R为假; (b) 若Q为假,则因P为真,故P→Q为假; 则(P→Q)∧(Q→R)为假。
2. 等值关系的性质 1）自反性： AA。 2）对称性： 若 AB 则 BA。 3) 传递性： 若AB,BC,则AC。 等值关系是一个等价关系。
3.证明逻辑恒等式AB的方法:
(1) 利用真值表: 证明公式AB为重言式。
例1 证明：德.摩根定律¬(P∨Q) ¬P∧¬Q
证明: 公式(¬(P∨Q) ) (¬P∧¬Q )真值表：
三、命题联结词
1.命题联结词: 又称逻辑运算符号， 是通常语言里的连接词的逻辑抽象。 常用的命题联结词有五种: 否定、合取、析取、蕴涵、等值
2. 五种联结词 1) 否定 （ ¬） 设P为命题,那么“对P的否定”为另一命题。 表示为¬P,叫做P的否定,读做“非P”。 注: ¬P为真当且仅当P为假。 ¬P的真值表：
2.定理 (1) 质合取式为矛盾式的充分必要条件是, 它同时包含某个命题变元P及其否定¬P。
(2) 质析取式为重言式的充分必要条件是, 它同时包含某个命题变元P及其否定¬P。
二、 析（合）取范式
1. 析（合）取范式的定义 定义3 一个由质合取式的析取所组成的公式, 称为析取范式, 即该公式具有形式: A1∨A2 ∨… ∨An(n≥1) 其中A1,A2,…,An都是质合取式。 定义4一个由质析取式的合取所组成的公式, 称为合取范式, 即该公式具有形式: A1∧A2 ∧… ∧An(n≥1) 其中A1,A2,…,An都是质析取式。
例1 张三说李四在说谎,李四说王五在说谎, 王五说张三和李四都在说谎. 问:谁说的是真话? 例2 有一仓库被盗,经侦察确定甲,乙,丙,丁 四人中 的两人作案,且可靠的线索有: (1) 甲,乙两人中有且只有一个人去过仓库; (2) 乙和丁不会同时去仓库; (3) 丙若去仓库,丁必定同去; (4) 丁若没去仓库,则甲也没去. 判断四人中哪两人作案? 解答:(1)李四说真话; (2)作案者为甲和丁.
例1 判断下列句子是否是命题 (1) 4是素数. -------------是假命题 (2) π是无理数. ---------是真命题 (3) 月球上有水. ---------是真命题 (4) π大于2吗 ---------不是命题 (5) 请不要吸烟！--------不是命题 (6) 这朵花真美丽啊！ ----不是命题 (7) x大于y. -------------不是命题
P Q P Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
说明：
P→Q的逻辑关系: Q是P的必要条件, P是Q的充分条件。 若P,则Q； 如果P,那么Q； 因为P,所以Q。 例:如果(因为)我有课,那么(所以)我去教室。 Q每当P； P仅当Q。 例:每当有课我去教室。我去教室仅当我有课。 只要P,就Q； 只有P才Q 。 例: 只要(只有)我有课,我就(才)去教室。 除非Q才P； 除非Q,否则非P。 例:除非我有课,我才(否则我不)去教室。
5) 等值（双条件）（ ） 设P,Q为命题,则“P当且仅当Q”为复合命题, 表示为PQ,读做“P当且仅当Q”。 PQ也可读做“P是Q的充要条件”。 注: PQ为真当且仅当P和Q同为真或同为假。 或当且仅当P→Q和Q→P都为真,
PQ的真值表:
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P Q 1 0 0 1
9.1 命题和命题联结词
一、命题的概念 二、命题联结词和真值表 三、命题的符号化 四、命题公式
一、命题的概念
1.命题的定义 能够确定或分辨其真假的陈述句, 且真与假必居其一。 简言之,命题是非真即假的陈述句。 2.命题的真值 命题是真就说其真值为真,用“1”表示， 命题是假就说其真值为假,用“0”表示。 真值为真的命题称为真命题, 真值为假的命题称假命题。
P 假 真 ¬P 真 假 P 1 0 ¬P 0 1
例2 设P: 3是素数; 则¬P: 3不是素数。 设Q: 这些都是男生; 则¬Q:这些都不是男生。
2) 合取（ ∧） 设P,Q为命题,那么“P并且Q”为一复合命题, 表示为P∧Q,叫做P和Q的合取,读做“P且Q”。 注: P∧Q为真当且仅当P和Q同为真。 P∧Q的真值表：
例7 将下列命题符号化: (1) 他有理论知识但无实践经验。 P∧¬Q (2) 小张是计算机学院的学生， 他住在8号楼202室或203室。
P∧((Q∧¬R)∨(¬Q∧R))
(3) 又大又红的苹果我才会买。 (P∧Q)→R (4) 如果小王和小张都不去,则小李去。
(¬P∧¬Q)→R
(5) 如果小王和小张不都去,则小李去。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例3 设P: 2是素数, Q: 2是偶数; 则P∧Q: 2是素数,并且是偶数
3） 析取（ ∨） 设P,Q为命题,那么“P或者Q”为一复合命题, 表示为P∨Q,叫做P和Q的析取, 读做“P或Q”。 注: P∨Q为真当且仅当P和Q至少一个为真。 P∨Q的真值表：
¬(P∧Q)→R
9.2 命题公式
一、命题变元(常元） 1.命题变元: 如果P代表真值未指定的任意命题, 就称P为命题变元 2. 命题常元: 如果P代表真值已指定的命题, 就称P为命题常元.(1和0称为命题常元) 3. 原子公式:单个命题变元和命题常元.
二、命题公式 定义 递归定义命题公式: (1) 0和1是命题公式; (2)命题变元是命题公式; (3)如果A是命题公式,则¬A是命题公式; (4)如果A和B是命题公式, 则A∧B,A∨B, A→B,AB是命题公式; (5)只有有限次利用上述(1)(2)(3)(4) 而产生的符号串才是命题公式。
3) 替换规则:
若C是A的子公式,且CD。 如果将公式A中的子公式C， 置换成公式D之后,得到公式B, 则 A B。
二、命题公式的蕴含关系 1.定义 设A和B是两个公式, 若公式A→B是重言式,即A→B1, 则称公式A蕴含公式B,记作AB。 2.蕴含关系的性质 a) 自反性： AA. b) 反对称性：若AB,BA,则AB. c) 传递性： 若AB,BC,则AC. 蕴含关系是一个偏序关系。
例1 下面的符号串不是公式 P→QP, ∨R→P, P→P∨, (P∧Q∨R))Q∧R). 下面的符号串是公式 (P∨Q)→(¬P∧R), (P∧(Q∨R))(Q∧R).
三、公式的真值指派（赋值）
定义 设P1,P2,…,Pn是出现在命题公式 F中的全部命题变元, 给P1,P2,…,Pn各指定一个真值(真或假), 称为对F的一个真值指派(赋值或解释)。 思考:含有n个命题变元的命题公式F 有多少种真值指派?
第9章 命题逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。 它既是数学的一个分支，也是逻辑学的 一个分支；是用数学的方法研究逻辑或 形式逻辑的学科。 数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。 数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。 它是现代计算机技术的基础。 它为机器证明、自动程序设计、 计算机辅助设计等计算机应用 提供必要的理论基础。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例4 设P: 张三爱唱歌, Q: 张三爱听 音乐; 则P∨Q: 张三爱唱歌或爱听音乐。
思考: 张明下午在寝室或在图书馆。 “或”:可兼或和排斥或（不可兼或）。 (P∧¬Q)∨(¬P∧Q)表示排斥或, 表示P和Q不能同时发生。
4) 蕴含（条件）（ →） 设P,Q为命题,则“如果P就Q”为一复合命题, 表示为P→Q, 读做“若P则Q”。 这里, P叫做前提,假设或前件; Q叫做结论或后件。 注: P→Q为假当且仅当P为真而Q为假。 P→Q的真值表：
注1 在数理逻辑中,“如果P,那么Q”中的 前件P与后件Q可以无任何内在联系。 例如： “若6是偶数，则明天下雨”。 注2 在数理逻辑中,作为一种规定, 当P为假时,无论Q是真是假,P→Q均为真。 例5 张三对李四说: “我去书店一定帮你买那本书”。 设P:张三去书店; Q:张三买那本书; 则可以将这句话表示为命题:P→Q.
3.说明：判断命题应注意以下几点
(1) 那些“自称谓”的陈述句可能产生自相矛盾的 结论(悖论),故不在讨论之列. 例如：我现在说真话. (2) “很难”,“相当年轻”等这些概念 没有清晰的界限,属于模糊概念,故不在讨论之列. 例如：这个题目很难. (3) 某些命题尚未确定其真值. 例如：火星上存在有生命的物种. (4) 某些命题可能无法查明其真值. 例如: 公元1014年元旦北京下过雨. (5) 命题真假会因时因地而异. 例如: 现在是上午.
例6: 设P: 我去游泳, Q: 天下雨; 则P¬Q: 我去游泳当且仅当天不下雨。
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3.命题的符号化 符号化应注意以下几点: (1)确定语句是否为命题,不是就不必翻译。 (2)确定语句中的连接词是否能对应于并且 对应于哪一个命题联结词; (3)正确表示原子命题和选择命题联结词; (5)原子命题一般表示成肯定。 (4)要按逻辑关系翻译而不能凭字面翻译。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q ¬(P∨Q) ¬P∧¬Q 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0
(¬(P∨Q) )(¬P∧¬Q)
1 1 1 1
从真值表可得： ¬(P∨Q) ¬P∧¬Q。
(2) 等值演算：
a) 常用的等值式 b) 两个规则 1)代入规则:
重言式中某命题变元出现的每一处 均代以同一命题公式后所得命题公式 (代入实例)仍为重言式。
4.命题的表示 一般用大写的英文字母表示一个最简单命题。
例如： P： 我是学生。 Q： 我明天要上学。
二、 命题的类型
1.原子命题 再细分不成为句子的命题称为原子命题。 例如: “明天下雪”和“7是素数” 都是原子命题。 2.复合命题 原子命题常可通过一些命题联结词 构成新命题,这种命题称为复合命题。 例如: “明天下雪或下雨”； “明天下雨并且下雪”; “如果明天下雨,我就不去游泳”等， 都是复合命题。
如： 在P∨(P∧Q)P中以(R→P)代P得 (R→P)∨((R→P)∧Q)(R→P) 在P∨QQ∨P中以¬C代P,同时以(¬A∧B)代Q得 ¬C∨(¬A∧B)(¬A∧B)∨¬C
2) 定义
若C是公式A中的一部分且C为公式, 则称C为A的子公式。 例: P∨Q和P∧R是公式P∨Q→P∧R 的子公式。
四、公式的真值表 用表格的形式来反映公式在所有不同的 真值指派下与其命题变元之间的真值关系， 这样的表格称为公式的真值表。
五、公式的类型
定义 设A为任一命题公式: (1) 若公式A在它的各种赋值下取值均为真, 则称公式A 是重言式或永真式; (2) 若公式A在它的各种赋值下取值均为假, 则称公式是矛盾式或永假式; (3) 若至少有一组真值指派使公式 A的值为真， 则称公式A是可满足式。
9.3 命题公式的等值关系和蕴含关系
一、 命题公式的等值关系 1.定义 设A和B是两个命题公式, 若公式AB为重言式, 则称公式A和B是等值的公式,记为AB。 注: (1) 当且仅当在所有真值指派下， 公式A和B的真值完全相同时, 公式A和B才是两个等值的公式。 (2) AB是表示一个公式， 而AB是表示两公式A和B的关系是等值。
9.4 范式
一、质合取式与质析取式 二、析取范式与合取范式 三、最小项与最大项 四、主析取范式与主合取范式
一、质合（析）取式
1.质合（析）取式的定义 定义1 一个由命题变元或命题变元的否定 所组成的合取式称为质合取式。 定义2 一个由命题变元或命题变元的否定 所组成的析取式称为质析取式。 如：设P和Q是两个命题变元, 则P, P∧Q,¬P∧Q, ¬ P∧¬Q都是质合取式, 而 Q,P∨Q, ¬P∨Q, ¬ P∨¬Q都是质析取式。