高考理科数学第一轮复习教师用书

第一章 集合与常用逻辑用语

第1节 集合及其运算

考点一 集合的基本概念

(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x

∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

解析：本题主要考查集合的含义与表示．

由题意可知A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，

故集合A 中共有9个元素，故选A.

(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D )

A.92

B.98 C ．0

D ．0或9

8

解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个

实根或有两个相等实根，

当a ＝0时，x ＝2

3，符合题意；

当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝9

8， 所以a 的取值为0或9

8.

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元

素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．

3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( B )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，

则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4，故选B.

(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2

＋m }，若3∈A ，则log 2 018⎝ ⎛

⎭

⎪⎫m ＋52的值

为0 .

解析：因为3∈A ，所以，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3. 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，

解得m ＝－3

2或m ＝1(舍去)．

当m ＝－32时，m ＋2＝1

2≠3符合题意． 所以m ＝－3

2，log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋52＝log 2 0181＝0.

考点二 集合间的基本关系

角度1 两集合间基本关系的判断

(2019·西安一模)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝

ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( B )

A ．M ＝N

B ．N M

C ．M ⊆N

D ．M ∩N ＝∅

解析：因为M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ， 且a ≠b }，所以N ＝{－1,0}，于是N M . 角度2 利用集合间关系求参数

(2019·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，

集合B ＝{x |m ＋1

4] .

解析：A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝[－2,7]． 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．

则⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，

解得2＜m ≤4.

综上，m 的取值范围为(－∞，4]．

【条件探究】 若将本典例中的集合A 改为A ＝{x |x 2－5x －14>0}，其他条件不变，则m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞) .

解析：A ＝{x |x 2－5x －14>0}＝{x |x <－2或x >7}． 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，

则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7或⎩⎪⎨⎪⎧

m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2.

解之得m ≥6.

综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含

参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．

(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考

虑空集的情况，否则会造成漏解．

(1)(2019·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ＝k π4＋π

4，k ∈Z ，集合N ＝

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ＝k π8－π

4，k ∈Z ，则( B )

A ．M ∩N ＝∅

B ．M ⊆N

C ．N ⊆M

D ．M ∪N ＝M

解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ＝(2k ＋4)π8－π

4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x ＝2n π8－π

4，n ∈Z ， N ＝⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ＝2k π8－π4或x ＝(2k －1)π8－π4，k ∈Z ， 所以M ⊆N ，故选B.

(2)已知集合A ＝{y ⎪

⎪⎪⎭⎬⎫y ＝x 2

－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，

若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

34，＋∞ . 解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

34，2，

所以y ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

716，2. 又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤7

16， 解得m ≥34或m ≤－3

4.