浙江省衢州市高三数学《圆的一般方程》教案

教材分析：
教
学重点、难点
重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。

难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程
教学过程：
1、情境设置：问题提出
方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？（采用由特殊到一般，由具体到抽象的认知方式）
对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为
1)2()1(22-=-+-y x ，
由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。

2、探索研究：
方程02
2=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？ 配方得4
4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。

(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42
122-+为半径的圆； (2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点
)2
,2(E D --
； (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图 形。

关于y x ,的二元二次方程
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3) 0422>-+AF E D 。

对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。

根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。

3、思考交流
圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。

圆的一般方程与圆的标准方程可以相互转化。

例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。

分析：由二元二次方程成为圆方程的条件，得到关于k 的不等式。

解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，
∴0)83(44)2(2
2>+-+k k ，解得14-<>k k 或
∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。

总结：在圆的一般方程02
2=++++F Ey Dx y x 中，系数D 、E 、F 必须满足0422>-+F E D 。

例2：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。

解：设所求圆的方程为02
2=++++F Ey Dx y x ，
A （1，－1）、
B （1,4）、
C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得 ⎪⎩
⎪⎨⎧-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2
∴所求圆的方程为02372
2=+--+y x y x 。

总结：待定系数法是求圆的方程最常见的方法，但是在求圆的方程时是设标准方程还是设一般方程，要由已知条件确定。

一般地，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。

例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程()2214x y ++=。

建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求
出点M 的轨迹方程。

解：设点M
的坐标是（x,y ）,点A 的坐标是()()00,.B 43M AB x y 由于点的坐标是，
且是线段的重点，所以000043,,22
24,23
x y x y x x y y ++===-=-于是有 ① 因为点A 在圆()2214x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程()2
214x y ++=,即()
220014x y ++= ()220014x y ++= ②
把①代入②，得()()22241234,x y -++-=22
312y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3整理，得x-2 M ⎛⎫ ⎪⎝⎭33所以，点的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆22
练习：
1、若（2m 2+m-1）x 2+(m 2-m+2)y 2+m+2=0的图形表示一个圆，则m 的值是＿＿＿。

2、已知∆ABC 的顶点坐标分别是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)，求∆ABC 外接圆的方程。

3、过圆外一点Q ),(b a 向圆O ：)0(2
22>=+r r y x 作割线，交圆于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹。

小结：
1、“轨迹”与“轨迹方程”是不同的两个概念，前者是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特性；后者是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。

2、在探求点的轨迹时，可先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再从本质上分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，制订合理的解题策略。

课后作业
（C 组题）１. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A. 2
B. 21+
C. 2
21+ D. 221+ （B 组题）2将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A. 37-或 B. 2-或8
C. 0或10
D. 1或11
（A 组题）3. 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程.
板书设计。