第一章方向导数及梯度

解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1， 则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。 其等值面方程为 或
( x y) z 0
2
z ( x y)
2
2. 方向导数(directional derivative)

方向导数 u
l
P0
u P u P0 lim l 0 l
标量场梯度的旋度恒等于零。
u u u ˆx e ˆy e ˆ z ) (e ˆx ˆy ˆz ) e e 证明：左边= ( e x y z x y z
2u 2u 2u 2u 2u 2u [( )ex ( )e y ( )ez ] yz zy zx xz xy yx 0
• 引入哈密顿算符 （矢性微分算符） 直角坐标内，
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
dy dx xy 2 x 2 y 从而有 dx dz xy 2 y 2 z
解之即得矢量方程
z c x 1 2 2 x y c2
c1和c2是积分常数。
2. 通量(flux)
若矢量场 F (r ) 分布于空间中， 在空间中存在任意曲面S，则定义： F (r ) dS
l 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆz el e x e y e 3 3 3 l
所以
r 1 1 0 2 1 2 1 l M 2 3 2 3 2 3 2
ˆx x x e ˆy y y e ˆz z z 例题: 若 R r r ' e
3. 梯度（gradient）

梯度就是变化率最大方向上的方向导数 。
u u u ˆx ˆy ˆz grad u G e e e grad u u x y z
ˆx ˆy ˆz e e e x y z
grad u=
ˆ ˆ ˆ e e e u u x y z x y z
若
若
0，穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源
0，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正源负源代数和为0
> 0 (有正源)
< 0 (有负源)
= 0 (无源)
3.矢量场的散度 Divergence of a vector field: 散度的定义 在场空间 F (r ) 中任意点M 处作一个闭合曲 面，所围的体积为 V ，则定义场矢量 F (r ) 在M 点处的散度为： F r dS divF r lim s V V 0
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。
静态标量场和矢量场可分别表示为： u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
时变标量场和矢量场可分别表示为：u ( x, y, z, t ) 、 F ( x, y, z , t )
1. 标量场的等值面
等值面:标量场为同一数值的点在空间形成
如果上式的极限存在，则称它为 函数在点P0处沿l方向的方向导数

标量场在不同方向上的变化率 一般说来是不同的
方向导数物理意义：
u l u l u l 0 ，标量场 u 在 M 0 处沿 l 方向增加率； 0 ，标量场 u在 M 处沿 l 方向减小率； 0 0 ，标量场 u在 M 0 处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
1.4 矢量场的通量 散度
1.矢量线(vector line)
所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一 点处， 场的矢量都位于该点处的切线上。
如：静电场的电力线、磁场的磁 力线、流速场中的流线等

矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向

矢量线的方程为

A dr 0
的曲面。
等值面方程：u ( x, y, z ) C
等值面的特点：
同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 因此标量场的等值面互不相交。
标量场的等值线(面)
• 常数C取一系列不同的值，就得到一系列不
例题 方程。
求数量场 φ =(x+y)2-z 通过点M(1, 0, 1)的等值面
散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性；
矢量场的散度是一个标量； 矢量场的散度是空间坐标的函数；
矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。
讨论：在矢量场中， 若 divF (r ) 0，则该矢量场称为有源场，为源密度 若 divF (r ) 0处处成立，则该矢量场称为无源场
数量场在l方向的方向导数为
u u u u cos cos cos l x y z 1 2x 2 2 y 2 x y 2 3 z 3 z 3 z
2 2
在点M处沿l方向的方向导数
u l
M
1 2 2 2 2 1 1 3 3 3 4 3
R R
证明：
(1) ( R)
R ˆR e R
ˆR (2) ( 1 ) R e R R3 R2
(3) f ( R) ' f ( R) 说明：
ex ey ez x y z ' ex ey ez x ' y ' z '
s
为矢量 F (r ) 沿曲面 S 的通量。 若S 为闭合曲面
矢量场的通量
A(r ) dS
s
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
讨论： 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
en
dS
dS ：面元面积，为微分量其值可认为无限小
en ：面元法线方向，垂直于面元平面。
M0
M0
M0
z
方向导数的计算
直角坐标系下，标量函数的方向导数为：
方向角

o

l

y
u u dx u dy u dz l x dl y dl z dl
x
dx cos , dl dy cos , dl dz cos dl

在直角坐标系中
u u u u cos cos cos l x y z
V2
V3
( divF (r ) 0无源）
散度的计算
z
S6 S4 S3 S2 S5 S1
∆z y
O ∆y
∆x
x
§1.4 矢量的通量和散度
• 散度与所取体积元 的形状无关，与所取 坐标无关 a.直角坐标系中
Ax Ay Az divA x y z
§1.4 矢量的通量和散度
x y 例题 求数量场 u 在点M(1, 1, 2)处 z ˆx 2e ˆy 2e ˆz 方向的方向导数。 沿 l e
2 2
u u u u cos cos cos 解： l x y z
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , x z y z z z2 1 1 cos 2 2 2 3 1 2 2 l 方向的方向余弦为 2 2 cos 12 2 2 2 2 3 2 2 cos 2 2 2 3 1 2 2
ˆn dS 称矢量 dS e
为面元矢量
面元法向 en 的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定； 对闭合曲面：闭合面外法线方向
F dS F en dS F cos r dS
s s s
通过闭合面S的通量的物理意义： 若0 ，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源
在柱面坐标系中：
在球面坐标系中：
ˆx ye ˆy ze ˆz xe 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量 r r 2 2 2 ˆr 的模， 即 r x y z ，证明： grad r= e r
例题
证：
所以
r r r ˆx e ˆy e ˆz gradr r e x y z r x x 2 2 2 x y z x x x2 y 2 z 2 r r y y 2 2 2 x y z 2 2 2 y y r x y z r z z 2 2 2 x y z 2 2 2 z x r x y z
在直角坐标系中，其表达式为
ˆx Ax e ˆy Ay e ˆz Az Ae
ˆx dx e ˆy dy e ˆz dz dr e
dr
r
r dr
A 与 dr共线
A // dr
力线方程
例
ˆ y +zy2e 求矢量场 A =xy2e ˆz 的矢量线方程。 ˆx +x2y e
解： 矢量线应满足的微分方程为
x y z 1 r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr gradr r e x e y e z ( xe x ye y ze z ) e r r r r r
源自文库
例题
ˆx 2e ˆy 2e ˆz 方向的方向导数。 求r在M(1，0，1)处沿 l e
r 解： r在M点沿l方向的方向导数为 l
V1
当div A >0，称为源点
( divF (r ) 0 正源)
divF (r ) 0负源)
(source point)---表示 矢量场在该点处有散 发通量之正源； 当div A <0，称之为汇 点(sink point)---表示 矢量场在该点处有吸 收通量之负源； 当div A =0，表示矢量 场在该点处无源 。
ˆl r e
M
1 ˆx ye ˆ y ze ˆz ) r的梯度为 grad r r ( xe r
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r 所以r在M点处的梯度为
x2 y2 z 2 2
1 1 ˆx ˆz gradr r e e 2 2
而
x
标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点 的等值面，且指向函数增大的方向。也就 是说，梯度就是该等值面的法向矢量。

梯度的旋度恒等于零 u 0
如果一个矢量场满足 F =0，即是一个无旋场，则该 矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即 F = u
梯度的重要性质
u 0
1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field）
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
z


梯度的性质
u u u ˆx ˆy ˆz grad u G e e e x y z
方向导数等于梯度在该方向上 的投影即 u ˆl u e l

方 向 角 o

l

y
u u u u cos cos cos l x y z
梯度的运算
由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知
在直角坐标系下：
u u u ˆx e ˆy e ˆz u e x y z
1 (er e ez ) r r z u 1 u u u er e ez r r z 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin u 1 u 1 u u er e e r r r sin