自动控制原理非线性控制系统分析
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当α取不同值时，等倾线分布在整个相平面上。 线性系统的等倾线是以原点为端点的一组射线， 非线性系统的等倾线往往是曲线或折线。在每条 等倾线上用小的带箭头的短线来表示α，即切线斜 率，当给定初始条件后，可在其所在的等倾线上 以切线方向作一线段与第二条等倾线相交，然后 再以第二条等倾线的切线方向做线段，与下一条 等倾线相交 ，直到做完。平滑处理后，所得的曲 线就是相轨迹。
过实轴的相轨迹斜率为
⑵ 对称：x轴： f (x, x) f (x,x)
x轴： f (x, x) f (x, x)
原点： f (x, x) f (x,x)
14
3. 线性系统的相轨迹
❖ 线性二阶系统的相平面分析 标准二阶系统的微分方程可表示为：
c&& 2nc& n2c 0
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-3 相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程 的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地 转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个 点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部 信息。
相平面法可以用来分析一、二阶线性或非 线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳 态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。
8
第二种方法：
xdx x 0 dx
xdx xdx
1 x&2 1 x&2 (0) 1 x2 x
22
2 x0
x2 x2 x02 圆
2) 等倾线法 等倾线法是不解微分方程，直接在相平面上绘
制相轨迹的方法。它对非线性系统尤为重要。
9
❖ 等倾线法
等倾线法的实质是用图解的方法，先绘出相轨迹
x
t3 5
相图：对于某一微分方程，当初始
条件不同时，不同的初始条件对应着不同 的相轨迹，因此相平面上布满了一簇相轨 迹，由这一簇相轨迹组成的相平面图，称 作相图。
相平面法：用相平面图分析系统
的方法为相平面法。
6
2. 相轨迹的绘制方法
1）解析法 解析法是从微分方程中找出 x和x的关系，从而
在相平面上绘制相轨迹，当描述系统的微分方程比 较简单时，用解释法比较方便。
dc& 2nc& n2c
dc
c&
等倾线方程 c& n2 c 2n
可见等倾线是通过坐标原点的直线。
15
对于线性二阶系统， ζ 取值不同，其特征根在 s平面上的分布不同，系统的运动规律也不一样。
⑴ 0<ζ<1(欠阻尼）
相轨迹为向心 螺旋线，最终趋于 原点。
0.5 , n 1
16
⑵ -1< ζ <0
相轨迹为离 心螺旋线，最 终发散到无穷。
0.5 , n 1
17
⑶ ζ>1(过阻尼）
相轨迹为 非周期衰减 曲线，最终 趋于原点。
1.25 , n 1
18
⑷ ζ< -1 相轨迹为非周期发散。
19
⑸ ζ =0
相轨迹为围绕 坐标原点的一 簇椭圆，椭圆 的参数由初始 条件及ωn确定。
20
⑹ 正反馈系统 描述正反馈系统的运动方程
c 2ncn2c 0
s12 n n 2 1
是符号相异的两 实根，因此系统不稳 定，其过渡过程非周 期发散，相轨迹趋于 无穷。
点，代表了系统在该时刻的一个状态。
4
相轨迹：设初始时刻t0，初始条件x(0)= x0,
相点从(x0, x&0 )开始，随着时间的增加，系统的
状态不断变化，沿着时间增加的方向，将描述 这些状态的相点连接起来，在相平面上就形成 了一条轨迹线，这种反映系统状态变化的轨迹 线叫相轨迹，如图：
x&
t1
t4
t2
11
例: 用等倾线法绘制 x x 0的相轨迹。
解： xdx x dx
令 dx
dx
x& x
给α=-∞ …，-2， 1，-0.5，0，0.5…∞画 等倾线。当以（x0,x） 为初始条件时，是一个 圆。
12
❖ 绘制等倾线时需注意的问题
① x 与x比例尺一致；
的切线方向，然后从初始条件开始，沿切线方向绘
制相轨迹。
x
xdx
f
(x, x)
dx
dx f (x, x) 相轨迹方程
dx x
它给出了相轨迹在 (x, x) 处的斜率 。
令 dx c
dx
x f ( x, x) 等倾线方程
10
给定一个α，就可以画出一条直线，在这条线 上，当相轨迹通过它时其切线斜率为α，因此把这 条线称为等倾线。
3
1. Leabharlann Baidu平面的基本概念
二阶系统的微分方程可由下列微分方程来描述：
&x& f (x, x&)
相平面： 二阶系统的二个变量看作是独 立变量，一般是位置量 x 和速度量 x ,分别以 x、x为横坐标和纵坐标构成的平面为相平面。
而x、x 就叫做运动系统的相变量。在某一时
刻t，x、x 对应于相平面上一个点，称为相
(1) 消变量法
从 &x& f (x, x&) 中解出x，对x求导得到 x，从x, x中消去中间量 t ，就得到x& x 的关系，直接
以 t 为参量得参量方程即可。
(2) 直接积分法
&x& dx& dx& dx x&dx& dt dx dt dx
x&dx& f (x, x&) dt
② 上半平面 x 0 故x的走向应沿x的增加的方向由
左向右，下半平面反之。
③ x轴上，因 x 0 。
④ 一般来说等倾线条数越多，作图精度越高，但条 数过多，不但增加了计算量，可能还会引起一些 人为的误差积累，故要取得适当，采用平均斜率 的方法可以提高作图效率。
13
❖相轨迹的运动特性 相轨迹在相平面上的运动具有一定的规律，了解 其运动特性可以使相平面作图简化。 ⑴ 运动方向：上半平面右行，下半平面左行，穿
7
g(x&)dx& h(x)dx
x&g(x&)dx&
x
h(x)dx
x&0
x0
就得到 x x的关系。
例：设系统的微分方程为 x x 0，初始条件
为 x(0) x0, x(0) 0 ，试绘制系统的相轨迹。
解： 第一种方法:
从微分方程求得 x=x0cost
x x0 sin t x2 x2 x02 圆
过实轴的相轨迹斜率为
⑵ 对称：x轴： f (x, x) f (x,x)
x轴： f (x, x) f (x, x)
原点： f (x, x) f (x,x)
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3. 线性系统的相轨迹
❖ 线性二阶系统的相平面分析 标准二阶系统的微分方程可表示为：
c&& 2nc& n2c 0
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-3 相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程 的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地 转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个 点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部 信息。
相平面法可以用来分析一、二阶线性或非 线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳 态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。
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第二种方法：
xdx x 0 dx
xdx xdx
1 x&2 1 x&2 (0) 1 x2 x
22
2 x0
x2 x2 x02 圆
2) 等倾线法 等倾线法是不解微分方程，直接在相平面上绘
制相轨迹的方法。它对非线性系统尤为重要。
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❖ 等倾线法
等倾线法的实质是用图解的方法，先绘出相轨迹
x
t3 5
相图：对于某一微分方程，当初始
条件不同时，不同的初始条件对应着不同 的相轨迹，因此相平面上布满了一簇相轨 迹，由这一簇相轨迹组成的相平面图，称 作相图。
相平面法：用相平面图分析系统
的方法为相平面法。
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2. 相轨迹的绘制方法
1）解析法 解析法是从微分方程中找出 x和x的关系，从而
在相平面上绘制相轨迹，当描述系统的微分方程比 较简单时，用解释法比较方便。
dc& 2nc& n2c
dc
c&
等倾线方程 c& n2 c 2n
可见等倾线是通过坐标原点的直线。
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对于线性二阶系统， ζ 取值不同，其特征根在 s平面上的分布不同，系统的运动规律也不一样。
⑴ 0<ζ<1(欠阻尼）
相轨迹为向心 螺旋线，最终趋于 原点。
0.5 , n 1
16
⑵ -1< ζ <0
相轨迹为离 心螺旋线，最 终发散到无穷。
0.5 , n 1
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⑶ ζ>1(过阻尼）
相轨迹为 非周期衰减 曲线，最终 趋于原点。
1.25 , n 1
18
⑷ ζ< -1 相轨迹为非周期发散。
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⑸ ζ =0
相轨迹为围绕 坐标原点的一 簇椭圆，椭圆 的参数由初始 条件及ωn确定。
20
⑹ 正反馈系统 描述正反馈系统的运动方程
c 2ncn2c 0
s12 n n 2 1
是符号相异的两 实根，因此系统不稳 定，其过渡过程非周 期发散，相轨迹趋于 无穷。
点，代表了系统在该时刻的一个状态。
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相轨迹：设初始时刻t0，初始条件x(0)= x0,
相点从(x0, x&0 )开始，随着时间的增加，系统的
状态不断变化，沿着时间增加的方向，将描述 这些状态的相点连接起来，在相平面上就形成 了一条轨迹线，这种反映系统状态变化的轨迹 线叫相轨迹，如图：
x&
t1
t4
t2
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例: 用等倾线法绘制 x x 0的相轨迹。
解： xdx x dx
令 dx
dx
x& x
给α=-∞ …，-2， 1，-0.5，0，0.5…∞画 等倾线。当以（x0,x） 为初始条件时，是一个 圆。
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❖ 绘制等倾线时需注意的问题
① x 与x比例尺一致；
的切线方向，然后从初始条件开始，沿切线方向绘
制相轨迹。
x
xdx
f
(x, x)
dx
dx f (x, x) 相轨迹方程
dx x
它给出了相轨迹在 (x, x) 处的斜率 。
令 dx c
dx
x f ( x, x) 等倾线方程
10
给定一个α，就可以画出一条直线，在这条线 上，当相轨迹通过它时其切线斜率为α，因此把这 条线称为等倾线。
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1. Leabharlann Baidu平面的基本概念
二阶系统的微分方程可由下列微分方程来描述：
&x& f (x, x&)
相平面： 二阶系统的二个变量看作是独 立变量，一般是位置量 x 和速度量 x ,分别以 x、x为横坐标和纵坐标构成的平面为相平面。
而x、x 就叫做运动系统的相变量。在某一时
刻t，x、x 对应于相平面上一个点，称为相
(1) 消变量法
从 &x& f (x, x&) 中解出x，对x求导得到 x，从x, x中消去中间量 t ，就得到x& x 的关系，直接
以 t 为参量得参量方程即可。
(2) 直接积分法
&x& dx& dx& dx x&dx& dt dx dt dx
x&dx& f (x, x&) dt
② 上半平面 x 0 故x的走向应沿x的增加的方向由
左向右，下半平面反之。
③ x轴上，因 x 0 。
④ 一般来说等倾线条数越多，作图精度越高，但条 数过多，不但增加了计算量，可能还会引起一些 人为的误差积累，故要取得适当，采用平均斜率 的方法可以提高作图效率。
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❖相轨迹的运动特性 相轨迹在相平面上的运动具有一定的规律，了解 其运动特性可以使相平面作图简化。 ⑴ 运动方向：上半平面右行，下半平面左行，穿
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g(x&)dx& h(x)dx
x&g(x&)dx&
x
h(x)dx
x&0
x0
就得到 x x的关系。
例：设系统的微分方程为 x x 0，初始条件
为 x(0) x0, x(0) 0 ，试绘制系统的相轨迹。
解： 第一种方法:
从微分方程求得 x=x0cost
x x0 sin t x2 x2 x02 圆