高考文科数学二轮专题复习讲义递推数列及数列求和的综合问题

所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证.

『对接训练』

2．[2019·山东青岛一模]已知公比为q 的等比数列{a n }满足2a 1＋a 3

＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．

(1)求q 的值；

(2)若b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，

依题意，有⎩

⎪⎨⎪⎧

2a 1＋a 3＝3a 2，

a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，

『对接训练』

4．[2016·高考全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b 1，b 11，b 101；

(2)求数列{b n }的前1 000项和． 解析：(1)设{a n }的公差为d ，

据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .

b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.

(2)因为b n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

0，1≤n <10，

1，10≤n <100，

2，100≤n <1 000，

3，n ＝1 000，

所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.

课时作业10 递推数列及数列求和的综合问题

1．[2018·天津卷]设{an }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Sn (n ∈N *)，{bn }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.

(1)求{an }和{b n }的通项公式．

(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， ①求Tn ； ②证明．

解析：(1)解：设等比数列{an }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.由q >0，可得q ＝2，故an ＝2n －1.

设等差数列{bn }的公差为d .由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，

故b n ＝n . 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{bn }的通项公式为bn ＝n .

(2)①解：由(1)，有S n ＝1－2n 1－2

＝2n

－1，故

T n ＝∑k ＝1n

(2k －1)＝∑k ＝1

n

2k

－n ＝2×(1－2n

)1－2－n

＝2n ＋1－n －2.

②证明：因为(Tk ＋bk ＋2)bk (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋1－k －2＋k ＋2)k

(k ＋1)(k ＋2)

＝k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1

k ＋1， 所以，

.

2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2－dx －3<0的解集为(－1,3)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝212

n a +＋a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

解析：(1)由题意知，方程a 1x 2－dx －3＝0的两个根分别为－1和