高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修

第二单元 圆锥曲线与方程
学习目标1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
知识点一椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线 定义
平面内与两个定点
F 1，F 2的距离之和等
于定长(大于|F 1F 2|)的点的轨迹
平面内到两个定点F 1，
F 2的距离之差的绝对值
等于定值2a (大于0且小于|F 1F 2|)的点的轨迹
平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉
l )距离相等的点的轨
迹
标准方程
x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)
x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b
2＝1(a >0，b >0)
y 2＝2px 或y 2＝－
2px 或x 2
＝2py 或x 2
＝－2py (p >0)
关系式 a 2－b 2＝c 2
a 2＋
b 2＝
c 2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线
y ＝±b a x 或y ＝±a
b
x
无限延展，没有渐近
线
变量范围
|x |≤a ，|y |≤b 或|y |≤a ，|x |≤b
|x |≥a 或|y |≥a
x ≥0或x ≤0或y ≥0
或y ≤0
对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴
一条对称轴
顶点 四个
两个
一个
离心率 e ＝c
a ，且0<e <1 e ＝c
a ，且e >1 e ＝1
决定形状的因素 e 决定扁平程度
e 决定开口大小
2p 决定开口大小
知识点二椭圆的焦点三角形
设P 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则
△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S ＝b 2
tan α
2.
(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .
知识点三双曲线及渐近线的设法技巧
1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成
0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝
0(a >0，b >0)，即y ＝________；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝
0(a >0，b >0)，即y ＝________.
2．如果双曲线的渐近线方程为x a ±y
b
＝0，它的双曲线方程可设为________________．
知识点四求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0)．
(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 知识点五三法求解离心率
1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2
－b 2
＝c 2
(a 2
＋b 2
＝c 2
)以及e ＝c a
，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
知识点六直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．
2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
类型一圆锥曲线的定义及应用
例1已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n
－y 2
＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个
交点，则△F 1PF 2的形状是() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．随m ，n 变化而变化
反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1抛物线y 2
＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则() A ．x 1，x 2，x 3成等差数列 B ．y 1，y 2，y 3成等差数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列 D ．y 1，y 3，y 2成等差数列
类型二圆锥曲线的方程及几何性质 命题角度1求圆锥曲线的方程
例2已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线分别交于
A ，
B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于()
A ．1 B.3
2
C ．2
D ．3
反思与感悟一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0)．
(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．
跟踪训练2设抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为() A ．y 2
＝4x 或y 2
＝8x B ．y 2
＝2x 或y 2
＝8x C ．y 2
＝4x 或y 2
＝16x D ．y 2
＝2x 或y 2
＝16x
命题角度2求圆锥曲线的离心率
例3如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第
二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．
反思与感悟求圆锥曲线离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2
－b 2
＝c 2
(a 2
＋b 2
＝c 2
)以及e ＝c a
，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练3已知抛物线y 2
＝4x 的准线与双曲线x 2a
2－y 2
＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的
焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________． 类型三直线与圆锥曲线的位置关系
例4已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率
为22
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，3
7
)满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．
反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练4如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →
与n ＝(2，－1)共线．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．
1．在方程mx 2
－my 2
＝n 中，若mn <0，则方程表示() A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线
2．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()
A ．2
B. 3
C. 2
D.32
3．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2
＝8x 的焦点相同，离心率为12
，则此椭
圆的方程为() A.x 212＋y 216＝1
B.x 216＋y 212＝1
C.x 2
48＋y 2
64
＝1 D.x 2
64＋y 2
48
＝1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是() A ．23p B ．43p C ．63p
D ．83p
5．过抛物线y 2
＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，
则△POQ 的面积等于________．
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．
答案精析
知识梳理 知识点三 1．±b a x ±a b
x
2.x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0) 题型探究
例1B[设P 为双曲线右支上的一点．
对于椭圆x 2m
＋y 2＝1(m >1)，c 2
＝m －1，
|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，
对于双曲线x 2n
－y 2＝1，c 2
＝n ＋1，
|PF 1|－|PF 2|＝2n ，
∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， |F 1F 2|2
＝(2c )2
＝2(m ＋n )， 而|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝2(m ＋n )＝(2c )2
＝|F 1F 2|2，
∴△F 1PF 2是直角三角形，故选B.]
跟踪训练1A[如图，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义可知
|AF |＝|AA ′|， |BF |＝|BB ′|， |CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.
又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p
2，
|CC ′|＝x 3＋p
2
， ∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p
2
⇒2x 2＝x 1＋x 3， 故选A.]
例2C[双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，y 2
＝2px 的准线方程为x ＝－p 2
.
∵双曲线的离心率为2， ∴e ＝
1＋
b a
2
＝2，
即b a
＝±3，
∴渐近线方程为y ＝±3x ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3x ，x ＝－p 2，得y ＝－
3
2
p ， ∴|AB |＝3p ，
S △OAB ＝12×p
2×3p ＝3，
解得p ＝2.]
跟踪训练2C[由抛物线C 的方程为
y 2＝2px (p ＞0)，
知焦点F (p
2
，0)．
设M (x ，y )，由抛物线性质|MF |＝x ＋p
2＝5，
可得x ＝5－p
2
.
因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为5－p 2＋
p
22＝5
2
.
由已知，得圆半径也为5
2，据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点
纵坐标为4，
则M (5－p
2，4)，代入抛物线方程得p 2
－10p ＋16＝0，所以p ＝2或p ＝8.
所以抛物线C 的方程为y 2
＝4x 或y 2
＝16x .] 例3
62
解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.
因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2
＋|AF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝12，
所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2
－(|AF 1|2
＋|AF 2|2
)＝16－12＝4， 所以(|AF 2|－|AF 1|)2
＝|AF 1|2
＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8， 所以|AF 2|－|AF 1|＝22，
因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62
. 跟踪训练3 6
解析抛物线y 2
＝4x 的准线方程为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2
＝15，
于是c ＝a 2＋1 ＝
65
. 故e ＝c a
＝ 6.
例4解(1)由题意知，
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， 所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22
， 所以c ＝
2
2
×2＝1， 所以b 2
＝a 2
－c 2
＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2
2＋y 2
＝1.
(2)已知F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －1，x 2
2
＋y 2
＝1，
化简得(1＋2k 2
)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k
21＋2k
2，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝
－2k
1＋2k
2. 所以AB 的中点坐标为(2k 2
1＋2k 2，－k
1＋2k 2)．
①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 2
1＋2k 2)， 因为|MA |＝|MB |，
所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程得， 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2， 即23k 2
－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝
36
； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或
36
.
跟踪训练4解(1)因为2c ＝2，
所以c ＝1.
又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ， 所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.
所以椭圆E 的标准方程为x 22
＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，
所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1. Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，
即m 2<2k 2
＋1.(*)
因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，
所以OP →·OQ →<0，
即x 1x 2＋y 1y 2<0.
又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )
＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝m 2－2k 2
2k 2＋1
. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 2
2k 2＋1
<0， 得m 2<23k 2＋23
. 依题意且满足(*)得，m 2<23， 故实数m 的取值范围是(－
63，63
)． 当堂训练
1．D2.C3.B4.B5.2 2。