高数一 第二章(导数与微分)§1§2PPT课件

x 0
x
lim f(x0x)f(x0)lim f(x0x)f(x0)
x 0
x
x 0
x
f ( x 0 ) f ( x 0 ) A 2 f(x 0 ) 15.
例2： 设 f(x )存a ,在 b0 ,求 ，
lim f(xa x)f(xb x).
x 0
x
解： lim f(xa x)f(xb x)
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重点内容：
• 导数的定义与几何意义 • 导数与连续的关系 • 函数的求导公式与求导法则 • 复合函数、初等函数的导数 • 隐函数的导数 • 由参数方程确定的函数的导数 • 高阶导数
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§1 . 导数的概念
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一、 引例
例1： 关于变速直线运动的速度 v ( t ) .
速度 =
路程 时间
vs, t
x 0
x
lif m (x a x )f(x )f(x ) f(x b x )
x 0
x
a lim f(xax)f(x)
x 0
a x
(- b) lim f(xb x)f(x) x 0 - b x
af(x) bf(x) (a b )f(x ).
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例2：证明：可导的偶函数的导数是奇函数。
若 lim ylim f(x0x)f(x0)存在
x 0x x 0
x
则称这极限值为 y = f (x) 在点 x0 处的导数，
Байду номын сангаас
记作：y xx0 , 或f(x0),ddxy
x x0 ,
d f (x) d x x x0 .
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说明： 1. f (x) 在点 x0 处存在导数，就称 f (x)
在点 x0 处可导； f (x) 在点 x0 处上述极限不存在，就称
第二章 导数与微分
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整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
导数与微分是微分学的基本内容， 微分学又是微积分学的重要组成部分。
导数是从实际问题中抽象出来的， 它具有广泛的应用。
如何对函数求导，是学好高等数学 要过的第二道难关。
证一：设 f (x) 是可导的偶函数，要证
f( x ) f(x ).
f( x )lim f( x x )f( x )
x 0
d x dx 显然，f(x0)就f是 (x)在 x0点的函 11
f(x0) lx i0m f(x0 x x )f(x0)，
f(x 0 ) x l x i0m f(x x ) x f0 (x 0 ). f(x )lim f(x x )f(x )，
x 0 x
注意： ( 1 )f(x )与 f(x 0 ) 前者是函数，后者是函数值(常数). ( 2 )f ( x 0 ) 与 [ f ( x 0 ) ]
(x)
在点
x0
(xx0) 处的左导数，记作 f(x0).
显然， 若 f (x) 在 x0 处可导
f ( x 0 ) f ( x 0 )
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例题 例1. 如果 f(x0)存在 按照， 导数定义指出
A 表示什么？ (1 )h l i0m f(x0h h )f(x0)A ; A f(x0).
(2 )－ lx i0m f(x 0 － x x )f(x 0 ) A ;
f(x0)x l ix0m f(x x ) x f0 (x0).
3 . 若 f (x) 在区间 ( a, b ) 内每一点都可导， 则称 f (x) 在区间 ( a, b ) 内可导。
对 ( a, b ) 内每一点 x 所构成的新函数 称为函数 y = f (x) 的导函数，记为 y, 或f(x), d y , d f ( x ) , 简称导数。
增量和时间增量的比 当时间增量趋于零 时的极限。
两个增量比的极限称为变化率， 速度 就是位置函数对时间的变化率。
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例2： 曲线的切线
y
设曲 yf线 (x)上点
M0 .
M.
y
T
M 0(x0,f(x0)),
M ( x 0 x ,f( x 0 x )
x
为曲线上一动点，
0 x 0 x0x x
设变速直线运动的位置函数为 s = s ( t ) ,
求 t 0 时刻的瞬时速度 v (t 0) .
△s 在时间 △t 内的平均速度：
t = 0, v = 0,
v△△ts
v(t0)lti m 0v
lim s t0 t
t = t0 - v = ? t0+△t -
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v (t0 ) lt i0 m s t lt i0s m (t0 tt) s (t0 ). ∴物体运动的瞬时速度是位置函数的
前者是导函数的函数值，后者是常数的导数
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f(x 0 ) lx i0 m x y lx i0m f(x 0 x x ) f(x 0 )，
若 4. limy x0 x
存在则， 称其极限为
f
(x)
在点
x0
(xx0) 处的右导数，记作 f(x0);
若limy x0 x
存在则，称其极限为
f
f (x) 在点 x0 处不可导。 若 x 0时y， , x
就称 f (x) 在点 x0 处的导数为无穷大。
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f( x 0 ) l x i 0 m x y l x i 0 f m ( x 0 x x ) f( x 0 ).
2 . 若 x x 0 令 x , 则 x x x 0 , x 0 时 ， x x 0 ,则导数又定义为：
=
f(x0)
A － f(x 0 ).
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(3 )lim f(x)A ,其f(中 0 )0 ,且 f(0 )存 x 0 x
lim f ( x ) limf(x)f(0)f(0),
x0 x
x0 x0 A f(0 ).
(4 ) lim f(x 0 x )f(x 0 x ) A .
x 0
x
lif m ( x 0 x )f(x 0 )f(x 0 ) f( x 0 x )
则割线 M0M 的斜率
tan
点 M 沿曲线 → M0 ，同时
y, 当x0，
x ，
则割线 M0M 的极限位置M0T就是曲线在点
M0
处的切线。
tan limtan
lim y x0 x
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二、导数的定义
设函 yf(数 x)在x点 0的某一 有 定义 x 在 点 x 0 处 ， 有 当 x 时 相 增 ， 函数的 y 增 f(x0 量 x) 为 f(x0),：