第4章扩散方程的数值解法及其应用
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(1)直角坐标系
c
T t
x
T x
y
T y
Leabharlann Baidu
S
非稳态项：
n s
e w
tt c T dxdydt c
t
t
P
TP TP0
xy
10/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
扩散项：
tt t
n s
e w
x
T x
dxdydt
t t t
n s
,
aP0
c V P t
b aP0TP0 SCV , V 0.5rn rs r
14/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式
三种坐标系的区别：
x-y x-r -r 东西坐标 x x
南北坐标 y r r 通用离散形式：
引入尺度系数SX 引入名义半径R
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
TP TP0
e Ae
TE TP
x e
w Aw
TP TW
x w
SC SPTP APx
8/30
传热与流体流动的数值计算
四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）
e Ae
x e
w Aw
x w
c P
APx t
SP APx TP
e Ae
x
TE
w Aw
x
TW
cP
APx t
TP0
其中：
aE
y
x
e
e
, aW
y
x
w
w
aN
x
y
n
n
,
aS
x
y
s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPxy
aP0
c xy P t
b aP0TP0 SCxy
12/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
(2)圆柱轴对称坐标系
c T
t
x
T x
1 r
r
13/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
(3)极坐标系
c T
t
1 r
r
r
T r
1 r
r
T
S
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
aE
re
r
e
e
, aW
r
rw
w
w
aN
rn
r n
n
,
aS
rs
r s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPV
r
T r
S
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
aE
rPr
x e
e
,
aW
rPr
x w
w
aN
rnx
r n
n
,
aS
rsx
r s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPV
,
aP0
c V P t
b aP0TP0 SCV , V 0.5rn rs rx
dT dx
w
SC
SPTP
AP x
0
4/30
传热与流体流动的数值计算
二、用控制容积积分法导出离散形式（续）
分段线性插值（中心差分）
e
Ae
TE
x
TP
w
Aw
TP
x
TW
SP APxTP
SC APx 0
e
w
e Ae
x e
w Aw
x w
SP APx TP
e Ae
x e
TE
w Aw
一、一维导热问题的通用控制方程（续）
3/30
传热与流体流动的数值计算
二、用控制容积积分法导出离散形式
假设： S SC SPTP（源项线性化）
1
Ax
d dx
A x
dT dx
SC
SPTP
0
e w
d dx
A
x
dT dx
dx
e w
SC
SPTP
A x dx
0
e Ae
dT dx
e
w Aw
传热与流体流动的数值计算
第4章 扩散方程的数值解法 及其应用
2009年3月6日
1/30
传热与流体流动的数值计算
§4.1 一维导热问题
一、一维导热问题的通用控制方程
1
Ax
d dx
A
x
dT dx
S
0
坐标系 直角 圆柱 球
空间变量x x r r
面积因子A(x) 1 r r2
2/30
传热与流体流动的数值计算
15/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）
16/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）
17/30
传热与流体流动的数值计算
§4.3 源项及边界条件的处理
一、非常数源项的线性化处理
S SC SPTP
说明：1、当源项为未知量的函数时，
7/30
传热与流体流动的数值计算
四、一维非稳态导热方程及其离散化
c
T t
1
Ax
d dx
A x
dT dx
S
c
P APx
T tt P
TPt
t t
t
e Ae
TE TP
x e
w Aw
TP TW
x w
dt
tt
t
AP SC SPTP xdt
采用全隐格式离散：
c APx P t
x w
TW
SC APx
aP aE aW SP APx
aE
aW
b
aPTP aETE aWTW b
aPTP anbTnb b 5/30
传热与流体流动的数值计算
三、界面上当量导热系数的确定方法
根据界面上热流密度连续的原则：
qe
Te TP
xe
TE Te
xe
TE
xe
TP
xe
SC
APx
e
w
令： 得：
aP0
c P
APx t
aPTP aETE aWTW b
其中：aP aE aW aP0 SP APx
aE
e Ae
x
,
aW
w Aw
x
e
w
b aP0TP0 SC APx
9/30
传热与流体流动的数值计算
§4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程
e w
y
T y
dxdydt
e
TE TP
x e
w
TP TW
x w
yt
n
TN TP
y n
s
TP TS
y s
xt
源项：
tt n e
t
s
Sdxdydt
w
SC SPTP
xyt
11/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
整理得： aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
线性化处理比假定为常数更合理。
2、线性化处理是建立代数方程所必须的。
3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP<0。
aP anb SPV
4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。
TP
anbTnb b anb SPV
18/30
P
E
P
E
根据界面上当量导热系数的含义：
qe
TE TP
x
e
e
调和平均法：
x
e
xe
xe
e
P
E
6/30
传热与流体流动的数值计算
三、界面上当量导热系数的确定方法（续）
算术平均法：
e
P
xe x
E
xe x
e
e
调和平均法优于算术平均法。
导热系数发生阶跃变化时的处理方法：
(1)把阶跃面作为控制容积的分界面。 (2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）
c
T t
x
T x
y
T y
Leabharlann Baidu
S
非稳态项：
n s
e w
tt c T dxdydt c
t
t
P
TP TP0
xy
10/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
扩散项：
tt t
n s
e w
x
T x
dxdydt
t t t
n s
,
aP0
c V P t
b aP0TP0 SCV , V 0.5rn rs r
14/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式
三种坐标系的区别：
x-y x-r -r 东西坐标 x x
南北坐标 y r r 通用离散形式：
引入尺度系数SX 引入名义半径R
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
TP TP0
e Ae
TE TP
x e
w Aw
TP TW
x w
SC SPTP APx
8/30
传热与流体流动的数值计算
四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）
e Ae
x e
w Aw
x w
c P
APx t
SP APx TP
e Ae
x
TE
w Aw
x
TW
cP
APx t
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其中：
aE
y
x
e
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, aW
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y
n
n
,
aS
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y
s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPxy
aP0
c xy P t
b aP0TP0 SCxy
12/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
(2)圆柱轴对称坐标系
c T
t
x
T x
1 r
r
13/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
(3)极坐标系
c T
t
1 r
r
r
T r
1 r
r
T
S
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
aE
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e
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,
aP0
c V P t
b aP0TP0 SCV , V 0.5rn rs rx
dT dx
w
SC
SPTP
AP x
0
4/30
传热与流体流动的数值计算
二、用控制容积积分法导出离散形式（续）
分段线性插值（中心差分）
e
Ae
TE
x
TP
w
Aw
TP
x
TW
SP APxTP
SC APx 0
e
w
e Ae
x e
w Aw
x w
SP APx TP
e Ae
x e
TE
w Aw
一、一维导热问题的通用控制方程（续）
3/30
传热与流体流动的数值计算
二、用控制容积积分法导出离散形式
假设： S SC SPTP（源项线性化）
1
Ax
d dx
A x
dT dx
SC
SPTP
0
e w
d dx
A
x
dT dx
dx
e w
SC
SPTP
A x dx
0
e Ae
dT dx
e
w Aw
传热与流体流动的数值计算
第4章 扩散方程的数值解法 及其应用
2009年3月6日
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传热与流体流动的数值计算
§4.1 一维导热问题
一、一维导热问题的通用控制方程
1
Ax
d dx
A
x
dT dx
S
0
坐标系 直角 圆柱 球
空间变量x x r r
面积因子A(x) 1 r r2
2/30
传热与流体流动的数值计算
15/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）
16/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）
17/30
传热与流体流动的数值计算
§4.3 源项及边界条件的处理
一、非常数源项的线性化处理
S SC SPTP
说明：1、当源项为未知量的函数时，
7/30
传热与流体流动的数值计算
四、一维非稳态导热方程及其离散化
c
T t
1
Ax
d dx
A x
dT dx
S
c
P APx
T tt P
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AP SC SPTP xdt
采用全隐格式离散：
c APx P t
x w
TW
SC APx
aP aE aW SP APx
aE
aW
b
aPTP aETE aWTW b
aPTP anbTnb b 5/30
传热与流体流动的数值计算
三、界面上当量导热系数的确定方法
根据界面上热流密度连续的原则：
qe
Te TP
xe
TE Te
xe
TE
xe
TP
xe
SC
APx
e
w
令： 得：
aP0
c P
APx t
aPTP aETE aWTW b
其中：aP aE aW aP0 SP APx
aE
e Ae
x
,
aW
w Aw
x
e
w
b aP0TP0 SC APx
9/30
传热与流体流动的数值计算
§4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程
e w
y
T y
dxdydt
e
TE TP
x e
w
TP TW
x w
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n
TN TP
y n
s
TP TS
y s
xt
源项：
tt n e
t
s
Sdxdydt
w
SC SPTP
xyt
11/30
传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
整理得： aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
线性化处理比假定为常数更合理。
2、线性化处理是建立代数方程所必须的。
3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP<0。
aP anb SPV
4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。
TP
anbTnb b anb SPV
18/30
P
E
P
E
根据界面上当量导热系数的含义：
qe
TE TP
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e
调和平均法：
x
e
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P
E
6/30
传热与流体流动的数值计算
三、界面上当量导热系数的确定方法（续）
算术平均法：
e
P
xe x
E
xe x
e
e
调和平均法优于算术平均法。
导热系数发生阶跃变化时的处理方法：
(1)把阶跃面作为控制容积的分界面。 (2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）