嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

关键词 ：嫦娥三号 软着陆 着陆轨道 最优控制策略
1
一、问题重述
12 月 6 日抵达月球轨道。 嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射， 嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t， 其安装在下部的主减速发动机能 够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推 力） 为 2940m/s， 可以满足调整速度的控制要求。 在四周安装有姿态调整发动机， 在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现 44.12N， 各种姿态的调整控制。 嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W， 海拔为-2641m （见附件 1）。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着 陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着 陆准备轨道为近月点 15km， 远月点 100km 的椭圆形轨道； 着陆轨道为从近月点 至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段（见附件 2），要求满足每个阶段在关 键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小 与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
将 ⑦式和⑧式相比,得出
......⑦
......⑧
dv K1v v tan ,左右两边同时乘上 cos 得到, d g cos
cos
dv Kv v sin 1 d g
化简可得,
7
d (v cos ) K1v cos d g cos
两边同时积分,
1 K1 dv vx x g cos d
kg S 2 ,M--月球质量为 7.3477 10 22 kg ，m--
嫦娥三号质量为 2400kg， Va --远月点速度， Ra --远月点到月心的距离为 18370130m。经过计算之后得到远月点的速度为 1.63k m s (2)近月点的速度：近月点只位于椭圆轨道不能利用万有引力恒等式，因此采用 能量守恒定律计算近月点的速度大小。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘 要：嫦娥三号于 2013 年成功在月球表面实现软着陆，这是中国航天器
首次在地外天体的软着陆和巡视勘探。本文通过对嫦娥三号软着陆轨道设计问 题的研究分析，针对软着陆准备轨道近月点和远月点的位置确定、着陆轨迹、 燃料消耗的分析，提出了嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的模型。为建立 和求解该模型，可通过解决以下三个问题分步解决。 问题一：题目要求对经纬度进行确定，我们假设了椭圆轨道的经度和着陆点 经度在同一个平面，即都为 19.51°，海拔为近月点距月球表面的距离。在此基 础上以月心为原点，建立了二维坐标系，以赤道平面为 X 轴，垂直于 X 轴方向 确立了 Y 轴。如图 4 所示。通过对嫦娥三号在距月面 3000 米处的受力分析， 采用动力学方程计算出此点处的水平位移， 从而得出近月点的位置为 （19.51°W， 59.62°N,15000m）。根据能量守恒得出嫦娥三号在近月点的速度为 1.71km/s， 方 向为（19.51°W，30.38°N）。利用近月点和远月点的对称关系可得出远月点的 位置（160.49°E，59.62°S,10000m），利用万有引力守恒得出嫦娥三号在远月点 的速度为 1.692km／s ，方向为（160.49°E，30.38°S） 。 问题二：在问题一的二维坐标下建立一个三维的空间坐标。以 P 点为原点 的着陆点坐标系和以月心 O 为原点的主坐标系。 利用软件 CAD 作图， 如图 所
示。根据飞行器轨道动力学定律，不考虑月球自转和嫦娥三号的侧向移动，基 于着陆点坐标系建立了嫦娥三号三维轨道动力学模型。然后，根据飞行器姿态 运动学定律和动力学原理，建立了嫦娥三号的姿态动力学模型。最后分析姿态 与轨道的耦合关系，建立了嫦娥三号的着陆轨道并得出了在嫦娥三号着陆的 6 个阶段的最优控制策略。 问题三：由于随着燃料的消耗，探测器从开始进行动力下降到完成月面软着 陆是一个变质量过程，因此我们需要建立变质量质心动力学方程来描述整个探 测器的运动情况。
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1 1 2 mVa mgRa mVb mgRb 2 2
Vb Va 2 g ( Ra Rb )
式中，m--嫦娥三号质量为 2400kg， Vb --近月点速度， Rb --近月点到月心的距 离为 17520130m。经过计算之后得到近月点的速度为 1.71k m s 。 （3）近月点位置的确定： 质量随燃料燃烧而减小， 假设推力随质量减小而减小。 设
最后将两个坐标联系起来，如图 4
所示。
图 4 以近月点为原点和以月心为原点的两个坐标 点 A 为嫦娥三号位于着陆点上空 3000 米处。假设点 A 与着陆点在同一条直线 上，连接点 A、着陆点和月心三个点，过 A 点作一条与 x 平行的直线与 y 轴相 交，且与月球相切。在三角形 ABO 中利用勾股定理，可以根据数值表得出在 y 轴为-12000 米时，x 轴为 465 米，即 AB=465m。根据月球半径和 A 点到月球表
根据上图 1 所示,确定积分的上下限
1 K1 dv v cos vx x g cos d
v cos
求解定积分可以得到,
v
v0 cos cos
(1 sin ) cos (1 sin ) cos
K1 g
......⑨
初始条件, 0, v0 1700 m s , K1
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模 竞赛参赛规则》（以下简称为 “竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建 模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的 问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的 表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺， 严格遵守竞赛章程和参赛规则， 以保证竞赛的公正、 公平性。 如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会， 可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发 表等）。
2
Fr K1m(t ) 。
式中， Fr --推力， k1 --推力与质量的正比例系数，m(t ) --质量随燃料减少的函数。 初始条件， Fr 0 =7500N, m0 =2400kg 代入方程式， K1
25 Fr 0 ， k1 m0 8

首先建立一个以月心为原点，与着陆点成 44.12 的方向为 x 轴，垂直 x 轴建立 y 轴。然后在嫦娥三号着陆过程中，以嫦娥三号近月点为原点，保证两个原点在 同一条直线上，水平方向为 X 轴，竖直方向为 Y 轴建立二维坐标系。如图 1 所 示
25 9.8 ,g 代入⑨可以得到轨迹方程, 8 6
水平位移
1 x g
1 y g



2
0

v 2 d
v 2 tand
，如图 2 所
竖直位移


2
0
根据得到出的轨迹方程利用 Matlab 求得数值解。具体数值见附件 示
8
图2
嫦娥三号的着陆轨迹
然后将曲线拟合，如图 3 所示。
9
图 3 曲线拟合
v2
......③

g cos
......④
在嫦娥三号着陆过程中夹角 随着轨道弧长 S 的增长而增长，得到

又有
dv d
......⑤
dv dv ds dv v d ds dt ds
......⑥
将 ⑤⑥分别代入方程③④可得,
dv v g sin K1 ds d v2 g cos ds
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人
A
22012016
重庆科技学院 魏熔均 田果 马正娟
(打印并签名)：
周定均
日期： 2014
2
二、问题假设 (1) 月球重力场为均匀的球形重力场 (2) 不考虑月球自转 (3) 推力方向沿轨道切线方向且与嫦娥三号速度方向相反
三、符号说明
各符号的含义见表 1. 表 1 符号含义说明 符号 G M m
Va Ra
含义 引力常量 月球质量 嫦娥三号质量 远月点速度 远月点到月心的距离 月球重力加速度 近月点速度 近月点到月心的距离 速度方向与水平方向夹角 在近月点速度方向与水平方向夹角 嫦娥三号着陆轨道弧长 嫦娥三号着陆轨道曲率半径
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图 1 受力分析
在着陆轨迹上选择一个点进行受力分析，由牛顿第二定律得， 切线方向： m(t )
dv m(t ) g sin K1m(t ) dt
......①
法线方向： m(t )
v2

m(t ) g cos
......②
方程同时消去 m(t ) 得到，
dv g sin K1 dt
g
Vb Rb

S

3
Fr k1 m(t )
推力 推力与质量的正比例系数 质量随燃料减少的函数 嫦娥三号的速度 水平方向上的分速度 时间 水平方向加速度 竖直方向加速度
v
vx
t
ax ay
四、问题分析
针对问题一，要确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号 相应速度的大小和方向。本文结合分析附件 1、2 的着陆过程、近月轨道示意图 和着陆点，利用动力学公式确定近月点的位置和远月点的位置。首先建立一个 三维的月心惯性坐标系，便于近月点远月点经纬度及高度的确定，但是由于近 月点和远月点的高度都可以根据椭圆轨道与月心确定。因此在问题一时不用考 虑到高度。所以最后决定建立一个二维的月心坐标系简化模型。然后为了简化 着陆轨迹，假设着陆点的位置是无坑、无山丘的平坦面。因此着陆轨迹便由一 段抛物线和一段直线组合而成。在距离月面 2400 米的时候，嫦娥三号的水平速 度减小到零，在此刻主减速发动机的推力竖直向下，嫦娥三号只具有竖直方向 的速度，到最后的距离月面几米的时候速度减为零，嫦娥三号自由落体着陆于 月球表面。 针对问题二，根据题目要求需要确定嫦娥三号的着陆轨道和 6 个阶段的最 优控制策略。首先建立了一个二维的月心坐标和一个以嫦娥三号质心为原点的
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月 15
日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
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轨道坐标系。然后对嫦娥三号进行受力分析，并根据运动学方程，分别求出了 着陆过程中每个阶段所花的时间和自身对粗避障、精避障处理所需要的时间。 嫦娥三号的受力分析可以得到跟质量与时间的关系式。最后根据所求出的时间 可以计算出每个阶段的燃料消耗。给出嫦娥三号的着陆轨道和 6 个阶段的最优 控制策略。 针对问题三，需要对设计的着陆轨道和控制策略做出相应的误差分析和敏 感性分析。在问题一、问题二的建模与求解的过程中可以发现第一阶段的终点 位置、 K1 和近月点的速度对着陆轨道的影响比较大。因此选择这三个因素作为 误差分析和敏感性分析的主要因素。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解 （1）远月点的速度：因为远月点在 100 公里环月圆轨道变轨到椭圆 轨道的交点位置，所以可以利用天体的圆周运动公式计算出在远月 点的速度大小。
Байду номын сангаас
GMm V 2a m 2 R a Ra
Va
式中，G--引力常量为 6.67 10 11 m
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GM Ra