泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间

第2章 度量空间与赋范线性空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念

在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对

y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：

（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈

（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；

则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。

注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。

例2.1 离散的距离空间

设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令

1 (,)0 x y

x y x y ρ≠⎧=⎨

=⎩

显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分

元素间的远近程度。

此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。

例 2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =L 的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,n x x x L 组成的数组()12,,,n x x x L 的全体形成的集合。对

()12,,,n x x x x =L ，()12,,,n n y y y y R =∈L ，定义

12

21(,)()n

i i i x y x y ρ=⎡⎤

=-⎢⎥⎣⎦∑ （2.1）

下面来证),(••ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。

由式（2.1）不难验证),(••ρ满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。 取()12,,,n n z z z z R =∈L ，则有

[]11

2

2

2

211112

2

2211(,)()()()()()(,)(,)

n

n

i i i i i i i i n

n

i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩

⎭

⎡⎤⎡⎤≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+∑∑∑∑

因此，n R 是一距离空间。(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。 注：若在n R 中规定

11(,)max i i i n

x y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ）

则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）

例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n

n i n n

a b a b ρξη∞

=-=+-∑

（2.2）

那么(,)ρξη是S 上的度量。式（2.2）通常称为Fr échet 组合。

(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对,ξη

及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x

x x x

ϕ=

>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-

得

1111n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

a b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤+

+-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘

1

2

n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+

因此(,)S ρ是距离空间。

例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义

(,)max ()()a t b

f g f t g t ρ≤≤=- （2.3）

则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。

(,)f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数[],,h C a b ∈由

[]()()()()()()

max ()()max ()() =(,)(,),(,)

a t b

a t h

f t

g t f t

h t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+∀∈

所以

(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+

例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()1

(,)()()p

p

E

f g f t g t dt

ρ=

-⎰

（2.4）

则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。 由 1(,)0(()())0p

p

E

f g f t g t dt ρ=⇒-=⎰

根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =⋅。反之，若()()f t g t a e =⋅， 则(,)0f g ρ=。所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）

；条件（2）显然满足；