协整检验与向量误差修正模型,时间序列ARIMA分析

向量误差修正
一 模型的概述
1 VEC 模型
向量误差修正模型VEC 是协整与误差修正模型的结合。

只要变量之间存在协整关系，就可以由自回归分布滞后模型导出误差修正模型，即VEC 模型是建立在协整基础上的V AR 模型，主要应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模。

V AR 模型的表达式为：
11=1=+++ =1, 2,
, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y ecm y x αΓH ε
式中t y 为k 维内生变量列向量，其各分量都是非平稳的()1I 变量；t x 是d 维外生向量，代表趋势项、常数项等确定性项；每个方程都是一个误差修正模型，1t -ecm 是误差修正项向量，反映变量之间的长期均衡关系；系数矩阵α反映了变量之间偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度；解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响；t ε是k 维扰动向量。

2 诊断检验
2.1 Johansen 协整检验
Johansen 协整检验基于回归系数进行检验，其基本思想为： 对()VAR p 模型
11=1=+++ =1, 2,
, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y ecm y x αΓH ε
两端减去1t -y 再变形可以得到
11=1=+++ =1, 2,
, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y y y x ∏ΓH ε
其中的,t ∆y t j -∆y ()=1,2,j p 都变为()0I 变量构成的向量，只要
1t -∏y 是()0I 的向量，即1t -y 的各分量之间具有协整关系，就能保
证t ∆y 是平稳过程，而这主要依赖于矩阵∏的秩。

设∏的秩为r ，
则0<<r k 时才有r 个协整组合，其余k r -个关系仍为()1I 关系。

这种情况下，∏可以分解为两个k r ⨯阶矩阵α和β的乘积：=∏αβ'其中()()=,=r r r r αβ，则模型变为
1'
1=1=+++ =1, 2, , p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y y y x αβΓH ε
式中'1t -βy 为一个()0I 向量，β为协整向量矩阵，其每一列所表示
的1t -y 的各分量线性组合都是一种协整形式，矩阵β决定了1t -y 的各分量之间协整向量的个数（r ）与形式。

矩阵α为调整参数矩阵，α的每一行i α是出现在第i 个方程中的r 个协整组合的一组权重。

因为∏的秩等于它的非零特征根的个数，Johansen 协整检验就是通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。

2.2 Granger 因果检验
Granger 因果检验通过看现在的y 能够在多大程度上被过去的x 解释，加入x 的滞后值是否使解释程度提高来判断x 是否引起y 。

如果x 在y 的预测中有帮助，或者x 与y 的相关系数在统计上显著时，就可以说“y 是由x Granger 引起的”。

用数学语言来描述检验则为如下形式：对t y 进行s 期预测的均方误差（MSE ）
()2++=1
1ˆMSE s t i t i i y y s =-∑ 如果关于所有的>0s ，基于()1
, t t y y -预测+t s y 得到的均方误差，与基于()1, t t y y -和()1, t t x x -两者得到的+t s y 的均方误差相同，则y 不是由x Granger 引起的。

对于线性函数，若有
()()+1+11ˆˆMSE , , =MSE , , , , , t s t t t s t t t t E y y y E y y y x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
可以得出结论：x 不能Granger 引起y ，也称x 对于y 是外生的，或者说x 关于未来的y 无线性影响信息。

3 模型估计
在做VEC 之前，要先进行Johansen 协整检验以确定变量是否具有协整关系，并确定协整方程的个数。

确定好以后每个内生变量对它和其他内生变量的滞后项以及用协整关系表示的误差修正项的滞后项做回归。

做VEC 模型估计时，可以指定外生变量，但截距项和趋势项的设定应该与Johansen 协整检验的相关假设一致。

同时协整方程的最大个数为内生变量的个数减去1。

4 模型的预测及评估
用VEC 建立并估计模型后可以进行预测，包括动态模拟、静态模拟和拟合方程等。

动态模拟：对发生在第一个预测期之前的内生变量的滞后值使用其历史数据，对随后各期的值使用模型本身的预测值进行模拟。

动态模拟可以给出真正的多时期预测。

静态模拟：使用所有滞后变量的实际发生值，当模拟跨多个时期时，静态模拟给出超前一个时期的预测序列。

然而由于所有当期的内生变量都是从模型中解出来的，因此联立方程组正方程的相互影响起着十分重要的作用。

拟合方程：这是静态模拟的一种变形。

使用方程中所有当期和滞后变量的实际值求解每个方程中的被解释变量。

由于用实际值，而不是接触值来对其他内生变量求解，模型中的方程之间不存在影响。

因此得出的解与单一方程的静态预测给出的结果相同。

二 实证操作分析
1 单位根检验
对进行季节调整后的各变量
()()()()()()'
=ln ,ln ,ln ,ln ,,ln t t t t t t t y ml sl if tiv rr cpi 做ADF 单位根检验，
将变量在同一组中打开
图 1 选择View /Unit Root Test 进行单位根检验，如图
图2进入单位根检验选择对话框
图3
检验类型选择ADF 并选择一阶差分，有截距项和趋势项，点击ok 得到检验结果
图 4 ADF 单位根检验结果
结果显示各变量显著拒绝原假设，表明各变量的一阶差分都已经平稳。

可以做下一步的操作。

2 Johansen 协整检验
在数据集中将进行季节调整后的各变量
()()()()()()'
=ln ,ln ,ln ,ln ,,ln t t t t t t t y ml sl if tiv rr cpi 在同一组中打开 按组打开t y 后单击View /Cointergration /Johansen …如图所示
图5出现下图所示的选项
图6
单击确定即看到Johansen协整检验的结果如图
图7 协整向量个数的确定结果
Trace检验和最大特征根检验均显示变量之间存在协整关系，并且有两个协整向量。

3VEC模型估计
操作过程：在上一步Johansen协整检验的基础上选择Proc/Make Vector Autoregression如图
图8
出现VEC模型的选项对话框如下图所示
图9
图10
在上图中注意输入协整的个数为2，选择确定就得到VEC模型的结果
图11 VEC模型中协整向量形式
表格 1 差分项的回归函数估计值
Error Correction:
D(LNM1_P_SA) D(LNSL_P_SA) D(LNIF1_P_SA) D(LNTIV_P_SA
) D(RR_SA) D(LNCPI_SA)
CointEq1
-0.060661 0.072601 0.109046 0.068214 -3.691636 0.005396 (0.01604) (0.02346) (0.11431) (0.05127) (0.92881) (0.00557) [-3.78178]
[ 3.09520]
[ 0.95395]
[ 1.33039]
[-3.97457]
[ 0.96810]
CointEq2
0.093316 -0.111860 -0.226871 -0.095313 4.489008 -0.014745 (0.02183) (0.03192) (0.15555) (0.06977) (1.26391) (0.00758) [ 4.27519]
[-3.50459]
[-1.45851]
[-1.36606]
[ 3.55168]
[-1.94414]
D(LNM1_P_SA(-1))
-0.361785 -0.072833 -0.976284 -0.035262 -7.392793 0.086318 (0.09031) (0.13207) (0.64360) (0.28869) (5.22955) (0.03138) [-4.00591]
[-0.55149]
[-1.51690]
[-0.12215]
[-1.41366]
[ 2.75074]
D(LNM1_P_SA(-2))
0.084806 -0.119476 -0.878960 0.052928 -9.477051 0.042075 (0.08842) (0.12930) (0.63011) (0.28264) (5.11995) (0.03072) [ 0.95912]
[-0.92404]
[-1.39492]
[ 0.18727]
[-1.85101]
[ 1.36954]
D(LNSL_P_SA(-1))
-0.036355 -0.352751 -0.084539 0.461035 2.173033 0.028713 (0.06837) (0.09997) (0.48720) (0.21853) (3.95867) (0.02375) [-0.53178]
[-3.52854]
[-0.17352]
[ 2.10968]
[ 0.54893]
[ 1.20876]
D(LNSL_P_SA(-2))
-0.089148 -0.157049 -0.437726 0.146524 -4.680292 0.028707 (0.06930) (0.10134) (0.49388) (0.22153) (4.01295) (0.02408) [-1.28636]
[-1.54970]
[-0.88631]
[ 0.66142]
[-1.16630]
[ 1.19215]
D(LNIF1_P_SA(-1))
0.046554 0.002714 -0.523611 0.018058 0.884401 -0.002019 (0.01515) (0.02215) (0.10794) (0.04842) (0.87708) (0.00526) [ 3.07352]
[ 0.12252]
[-4.85081]
[ 0.37295]
[ 1.00834]
[-0.38353]
D(LNIF1_P_SA(-2))
0.026561 -0.018968 -0.209854 -0.006753 1.627515 -0.005362 (0.01412) (0.02064) (0.10059) (0.04512) (0.81735) (0.00490) [ 1.88174]
[-0.91895]
[-2.08621]
[-0.14966]
[ 1.99122]
[-1.09324]
D(LNTIV_P_SA(-1))
0.033995 0.042055 0.002843 -0.584671 -7.775942 0.033327 (0.03424) (0.05007) (0.24401) (0.10945) (1.98267) (0.01190) [ 0.99285]
[ 0.83994]
[ 0.01165]
[-5.34188]
[-3.92196]
[ 2.80133]
D(LNTIV_P_SA(-2))
0.044643 0.050367 0.190039 -0.302325 -3.038425 0.013950 (0.03289) (0.04809) (0.23436) (0.10512) (1.90430) (0.01143) [ 1.35749]
[ 1.04733]
[ 0.81088]
[-2.87589]
[-1.59556]
[ 1.22078]
D(RR_SA(-1))
0.003128 -0.000260 -0.000548 0.008970 0.183823 -0.000702
(0.00207)
(0.00302)
(0.01474)
(0.00661)
(0.11977)
(0.00072)
[ 1.51244]
[-0.08603]
[-0.03721]
[ 1.35672]
[ 1.53483]
[-0.97664]
D(RR_SA(-2))
-0.002627 -0.003288 -0.030774 0.006111 -0.018652 -0.000330 (0.00201) (0.00293) (0.01430) (0.00641) (0.11615) (0.00070) [-1.30960]
[-1.12090]
[-2.15275]
[ 0.95305]
[-0.16058]
[-0.47282]
D(LNCPI_SA(-1))
-0.184162 -0.836522 -2.617380 2.630518 -6.145601 0.117873 (0.40373) (0.59038) (2.87713) (1.29054) (23.3779) (0.14028) [-0.45615]
[-1.41693]
[-0.90972]
[ 2.03830]
[-0.26288]
[ 0.84027]
D(LNCPI_SA(-2))
0.321312 -0.597864 -4.838320 -0.118138 -4.420437 -0.091277 (0.40874) (0.59770) (2.91283) (1.30656) (23.6680) (0.14202) [ 0.78611]
[-1.00027]
[-1.66104]
[-0.09042]
[-0.18677]
[-0.64270]
C 0.013744 0.015329 0.052526 0.016823 0.323399 -0.001434 (0.00229) (0.00334) (0.01630) (0.00731) (0.13245) (0.00079) [ 6.00854]
[ 4.58260]
[ 3.22224]
[ 2.30072]
[ 2.44159]
[-1.80471]
可以看出在Johansen 协整检验的基础上估计得到如下的VEC 模型：
1
'
1=1=+++ =1, 2,
, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y y y x αβΓH ε
其中β为62⨯的矩阵，每一列所标示的各变量的线性组合都是一种协整形式，即β为协整向量矩阵，协整向量的个数为2个。

α也是62⨯的矩阵，其每一行元素是出现在第i 个方程中的对应误差修正项的系数，即调整系数，α为调整参数矩阵。

模型中差分项的滞后阶数为=2p ，其中协整向量的估计结果（图11）如下表所示
表格 2 协整向量的矩阵的估计结果
变量 ()1ln 1t m -
()1ln t sl - ()1ln t if - ()1ln t tiv - 1t rr -
()1ln t cpi - 常数项 协整向量1 1 0 1.99 -3.02 0.12 2.54 -13.06 协整向量2
1
1.30
-2.10
0.06
0.13
0.05
由于Eviews 系统默认将VEC 模型中前r 个变量作为剩余k r -个
变量的函数，其中r 为协整关系数，k 为内生变量个数。

所以得到的两个协整方程中分别以实际M1和实际消费作为其他变量的函数。

①协整方程1为
()()()()111111ln 1= 1.99ln +3.02ln 0.12 2.54ln +13.06+t t t t t t m if tiv rr cpi ecm --------其中1t ecm 表示实际M1、实际投资、实际工业总产值、实际利率和物价的线性组合序列，也是协整方程1的残差项。

②协整方程2为
()()()()111111ln = 1.3ln +2.1ln 0.06+0.13ln 0.05+t t t t t t sl if tiv rr cpi ecm -------- 其中2t ecm 表示实际消费、实际投资、实际工业总产值、实际利率和物价的线性组合序列，也是协整方程2的残差项。

协整方程1和协整方程2分别给出了实际M1和实际消费的长期均衡方程，在此基础上讨论变量之间的短期关系就得到VEC 模型
1
'
1=1=+++ =1, 2,
, p t t i t i t t i t T ---∆∆∑y y y x αβΓH ε
在模型中每一个方程都是一个误差修正模型。

现在选择两个变量实际M1、实际消费作为代表列出方程。

实际M1的误差修正模型：
()()()
()()()()()()()()121212*********ln 10.06+0.090.36ln 1+0.08ln 10.04ln 0.09ln +0.05ln +0.03ln +0.03ln +0.04ln +0.0030.0030.18ln +0.32ln +0.0140.367 t t t t t t t t t t t t t t t M ecm ecm M m sl sl if if tiv tiv rr rr cpi cpi R ------------∆=--∆∆-∆-∆∆∆∆∆∆-∆-∆∆= F=4.85
实际消费的误差修正模型：
()()()
()()()()()()()()121212*********ln 0.070.110.07ln 10.12ln 10.35ln 0.16ln +0.003ln 0.02ln +0.04ln +0.05ln 0.00030.0030.84ln 0.60ln +0.0150.295t t t t t t t t t t t t t t t sl ecm ecm M m sl sl if if tiv tiv rr rr cpi cpi R ------------∆=--∆-∆-∆-∆∆-∆∆∆-∆-∆-∆-∆= F=3.50
（二） 5 ARIMA
1 时间序列ARIMA 模型
1.1 自回归移动平均过程ARMA(p,q )
对1122=t t t p t p t X X X X ϕϕϕμ---++
++①，
如果t μ是一个白噪声（=t t με），则称为一个纯AR(p )过程：记为
1122=t t t p t p t X X X X ϕϕϕε---++++②；
如果t μ不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的移动平均过程MA(q)：
11=t t t q t q μεθεθε-----③。

将②③结合，便得到一个一般的自回归移动平均过程ARMA(p,q )：
1111=t t p t p t t q t q X X X ϕϕεθεθε----+++---。

1.2 对GDP 序列进行平稳性检验并建立其ARMA(p ,q )模型
首先对GDP 序列进行平稳性检验。

打开序列选择方法为ADF 单位根检验法，
如上图所示，依次选择不同差分项直到不存在单位根。

检验结果如下：
检验结果显示，GDP序列以99.78%的显著性水平接受原假设，即存在单位根。

继续做GDP一阶差分的ADF单位根检验：
检验结果显示，D(GDP)序列以99.34%的显著性水平接受原假设，即仍存在单位根。

继续做GDP二阶差分的ADF单位根检验：
检验结果显示，D2GDP序列在5%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，即D2GDP~I(2)。

对D2GDP序列做自相关图进行平稳性检验
由D2GDP 的自相关函数图和偏自相关函数图何以看出，二者均在滞后1期时迅速趋于零，且1k ≥以后，样本自相关函数值k r 与偏自相关函数值k r *都落在了95%的置信区间[-0.3772,0.3772]的内部，因此在5%的显著性水平下不拒绝从
滞后1期开始=0k ρ，=0k ρ*
的假设。

可以认为D2GDP 为一个白噪声，同时在滞
后1期时，11==0.356r r *，接近于5%显著性水平下的临界值0.37，也可以考虑建立AR(1)或MA(1)或ARMA(1,1)模型。

建立ARMA(1,1)模型：
然后输入d2gdp ar(1) ma(1)如图
得到结果如下所示
模型估计式为1120.188620.3464t t t t D GDP D GDP εε--=++，化简后即为
1212.18860.6228+0.3464t t t t t GDP GDP GDP εε---=-+，
显然不符合实际情况。

考虑MA(1)模型：
仍然按照刚才的操作输入模型要求得到结果如下
模型估计式为120.49758t t t D GDP εε-=+，化简后整理得
12120.49758t t t t t GDP GDP GDP εε---=-++。

用模型预测2007年的GDP ：
200720062005200620.49758GDP GDP GDP ε=-+，计算结果240031.86与实际值263242.5误差为0.088。