理论力学 --第4章 摩擦

§4-2
考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致 相同，但有如下几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接 触面间切向的摩擦力Fs 。通常增加了未知量的数目；(2)为确 定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即Fs ≤f sFN 。， 补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩 擦力有一定的范围(即0≤ Fs ≤f sFN )，所以有摩擦时平衡问题 的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。 工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩 擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便， 也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡 范围。
注意：当Fs 达到最大值后,如果主动力F 再继续增大，Fs 不能再随 之增大，物体将失去平衡而滑动，此为静摩擦力的特点，与一般 约束力的不同之处。
0 ≤Fs ≤Fmax
库仑摩擦定律：
Fmax = f s FN
fs FN
静摩擦因数 接触物体间的正压力
2. 动滑动摩擦力
当Fs 达到最大值后,如果主动力F 再继续增大，物体将失去 平衡而滑动，此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻 力，该阻力即为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd 表示。
以左滚木为对象。将滚动摩擦 力按纯主矢的方式简化，受力 情况如图所示。对点A取矩
M Az ( Fi ) 0
n i 1
y
q
G G0 0
F
x
O
G
Ff 1 q FN1
qq

q
Ff 2
q
FN1 ( 0 ) 2Ff 1r G 0 0
以右滚木为对象。受力情况如图 所示。对点B取矩
4、自锁现象
(1) 若作用于物体上的主动力的合力R的作用线落于摩擦角之 内，则无论这个力多大，物体必保持静止。这种现象称为自 锁，如图（a)。
(2) 若作用于物体上的主 动力的合力R的作用线落于Biblioteka Baidu摩擦角之外，则无论这个 力多小，物体一定会滑动， 如图（b) 。
自锁应用举例
摩擦系数的测定：OB绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出θ 角，此时，P =-FRA, θ = φf 。则tanθ= tanφf = fs , (该两种 材料间静摩擦系数)
M Bz ( Fi ) 0
n i 1
G
q
FN 2
q
FN 3 A Ff 3
q
0
G
q q
FN 4
B 0
Ff 1 q FN1 Ff 4
36 087 ' α 90 0
[例3] 图示一折叠梯放在地面上,与地面的夹角 60 。脚端 A与B 和地面的摩擦因数分别为 f sA 0.2, f sB 0.6 。在折叠 梯的AC 侧的中点处有一重为500N 的重物。不计折叠梯的重量 ,问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。 处理此类问题时首先假定系 统为平衡。由于系统不一定处于 静摩擦的临界情况，可通过平衡 方程求得这些未知的静摩擦力。 所得的结果必须与极限静摩擦力 进行比较，以确认上述系统平衡 的假定是否成立。
o
x FsB
FsB
FNB
FNB FB
⑵ 以杆 BC 为对象，由于不计杆件的重量，该杆为二力杆 ，即摩擦力与理想约束力的合力与铰 C 的约束力均沿杆的轴 线。由图b 的矢量几何，有 ：
FsB FNB tan30 72.17 N
y
⑶ 再以整体为对象
C
Fx 0 :
FsA FsB 0
摩擦分类
静摩擦(static friction) 动摩擦(kinetic friction) 滑动摩擦(sliding friction) 滚动摩阻（rolling resistance)
1. 按接触面的运动情况分：
2. 按接触面的相对运动情况分：
3. 按接触面有无介质情况分：
干摩擦(dry friction)
M A 0 : W cos min FB l cos min N B lsin min 0
1 f 2 1 0.52 得: min arctg arctg 36087' 2f 20.5
l 2
注意，由于α 不可能大于 90 ， 所以梯子平衡时，倾角α 应满足
C
G
A


B
解：⑴ 以整体为对象，令等边三角形的边长为 b。 y FCB M A 0 : bFNB 0.25bG 0 C
F y 0 : FNA FNB G 0
G
解得：
FNB 0.25G 125 N
A


B
FNA G FNB 375 N
FsA FNA
Fx 0 : NB FA 0
Fy 0 : NA FB W 0
FA f NA
解得： N A
FB f NB
2
W 1 f
NB
fW 1 f 2
FB W
W 1 f 2
W fW W NA , NB , FB W 2 2 1 f 1 f 1 f 2
N Pmaxsinα Wcosα 0
补充方程:
解得 : Pmax
Fmax fs N
sin f s cos W =87.88N cos f ssin
Fmax
N
② 再求使物体不致下滑的Pmin。
由 Fx 0,
F y 0,
Pmincosα Wsinα Fmax 0
G G
F
O
将这些阻力向A点 简化，可得一主矢 和一主矩
F
A
O
Ff
Mf
FR 可向 x, y 方向分解 F f (切向), FN (法向)
FN 理想约束力, F f 具有滑动摩擦力的性质 , M f 滚动阻力偶矩 为滚动摩擦所特有 ,
FN
FR
讨论： （1）主动力 F 由零逐步增大，而圆柱体处于平衡状态，由 平面任意力系的平衡方程，有：
G
FsA FsB 72.17 N
下面判断系统是否处于静平衡
A


B
FsA 脚端A 与B 的最大静摩擦力分别为 ：
o FNA
x FsB
FAmax f sA FNA 75 N
FBmax f sBFNB 75 N
因为
FNB
FsA FAmax
f sB FBmax
所以，折梯处于平衡的假定成立。
F f Fm , 圆柱体开始滑动 M f M m , 若 F 再增大, 圆柱体开始滚动
Mf
FN
G O B
FR
实际上，由于滑动摩擦因子较大，圆柱 滚动前不会发生滑动，即
M f M m 时 Ff Fm , 我们称之为纯滚动
实验证明：
F

Ff
FR
FN
M m FN
间的夹角也在0～ φ f 之间变化，所以若物块平衡，全反力作用 线必在摩擦角之内。
Fmax f s FN t anφ f fs FN FN
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力FRA作用线的 方位也随之改变；在临界状态下， FRA 的作用线将画出一个 以接触点A为顶点的锥面，如图（c）示，称为摩擦锥。
Fd = fFN
f
动摩擦因子
fs、f 与接触物体的材料和表面情况有关，一般f < fs
3、摩擦角
支承面的全约束力FRA = FN+Fs,其作用线与接触面的公法线 成一偏角φ，如图（a）示，当静摩擦力达到最大值时，偏角φ 也达到最大值φf ，如图（b）示, φf 称为摩擦角。
物块平衡时，摩擦力在0～Fmax 之间变化,全反力与法线之
擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力
1. 静滑动摩擦力，最大滑动摩擦力
两物体接触面的凹凸不平是引起滑动摩擦的主要原因
今有一物块承受重力P，在铅垂方向必有约束反力FN与之平衡，
FN
Fs
如果施以水平力 F，则一定会出现切向约束反力，即滑动摩擦力。
FN
F
P
P
（1）当F 较小时，物块有相对滑动趋势，但仍保持静止，此 时的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，有Fs= F,且随 着F 的增大，Fs也增大。 （2）当F 的大小达到一定数值时，物块处于平衡的临界状态， 将动但还未动，此时Fs 达到最大值,称为最大静滑动摩擦力，简 称最大静摩擦力，以Fmax表示。
y
以整个系统为对象
受力情况如图。有平衡方程 ：
q
G G0 0
F
x
O
G
Fix 0
i 1
n
Ff 1 q FN1
qq

q
Ff 2
q
F Ff 1 Ff 2
G
q q
FN 2
q
q q
F
i 1
n
iy
0
FN1 FN 2 G0 2G
这里共有5个未知量，再加一个力矩方程也无法求解。需 增加方程。
F
G O A
F
i 1 n
n
ix
0 Ff F 0 FN G
Ff
F
i 1 n i 1
Mf
FN
iy
FR
M Oz ( Fi ) 0 M f Fr ( r 为圆柱体半径)
（2）
F , Ff , M f
F
A
G O
Ff
N P
再以手柄为研究对象
A
0
B
当鼓轮处于临界平衡状态时， 令P=Pmin，由摩擦方程有： F =F /=Fmax= fsN 联立求解上述三个方程，得：
R o r
N/ l F/ a A W b YA
XA
Wr a Pmin ( b) Rl f s
§4-3
滚动摩阻的概念
滚动摩擦产生的原因：重为G的圆柱体沿水平面运动时，因 为二者间的局部变形引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动的 阻力，如图
湿摩擦(fluid friction)
§4-1
滑动摩擦
两个相互接触的物体存在相对滑动或相对滑动趋势时， 接触面之间由于并非绝对光滑，而在接触面的公切线上存在 阻碍两物体相对滑动的阻力，这种阻力称为滑动摩擦力。 滑动摩擦力的方向与相对滑动或相对滑动趋势的方向相
反，大小根据主动力作用的不同，可分三种情况：静滑动摩
其中 称为滚阻系数, 量纲为长度单位, 其物理意义是将摩擦力
简化为纯主矢时, 简化中心B 到 A点的距离, 与接触物体的性质有关
[例2.6-3] 在搬运重物时常在下面垫些滚木，如图所示。重物重 G0，滚木重G，半径为 r。滚木与重物和地面的滚阻因数分别为 0 和 。求将要拉动重物时的拉力 F。
N Pminsinα Wcosα 0
解得：
sin f s cos Pmin W =33.82N cos f ssin
平衡范围应是
33.83N P 87.88N
Fmax N
当P = 60N时，物体处于平衡状态。
强调指出：在临界状态下求解有摩擦的平衡问题时，
必须根据相对滑动的趋势，正确判定摩擦力的方向。
这是因为解题中引用了补充方程
Fmax f s FN ，由于
f s为正值，Fmax与FN 必须有相同的符号。法向约束力 FN 的方向总是确定的，FN 值永为正，因而Fmax也应为 正值，即摩擦力Fmax的方向不能假定，必须按真实方
向给出。
[例2] 梯子长AB=l，重为W，若梯子与墙和地面的静摩擦系 数f =0.5, 求α 多大时，梯子能处于平衡？ 解：考虑到梯子在临界平衡状态有 下滑趋势，做受力图。
[例1] 已知：a =30º ，W=100N，fs =0.2 求：①物体静止时， 水平力P 的平衡范围。②当水平力P= 60N时，物体能否平衡？
解：以物块为研究对象
①先求使物体不致于上滑的Pmax 。
由 Fx 0,
F y 0,
Pmaxcosα Wsinα Fmax 0
两个相互接触的物体存在相对运动的趋势或相对 运动时，接触面之间由于并非绝对光滑，而在接触面 的公切线上存在阻碍两物体相对运动的力，这种力称 为摩擦力。 摩擦力的物理本质很复杂，与材料性质、表面情 况、相对运动性态以及环境等有关——摩擦学 为什么研究摩擦？ -----掌握规律， 利用其利，克服其害。
例4
图示为起重装置的制动器。已知重物重W，制动块与鼓
轮间的静摩擦系数为 fs，各部分尺寸如图示。问在手柄上作用 的力P 至少应为多大才能保持鼓轮静止？ B P
R
o r
b W
a A
l
解：以鼓轮为研究对象
M
M
O
0 FR Wr 0
Pl F b N a 0
P
F R Yo r Xo o W B