基本不等式简单

基本不等式简单

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）

1. 下列结论正确的是( )

A. y =x +1x 有最小值2

B. y =2+2√x 2+2有最小值2

C. ab <0时，y =b a +a b 有最大值−2

D. x >2时，y =x +1x−2有最小值2

2. 已知x 、y 为正实数，且2x +y =1，则y x +1y 的最小值为( )． A. 2√2 B. √2+1

C. 2√2+2

D. 2√2+1 3. 己知a >0，b >1，a +b =2，则1a +1b−1的最小值为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 83 4. 对于a >0，b >0，下列不等式中不正确的是( ) A. √ab

2<1a +1b B. ab ≤

a 2+

b 2

2 C. ab ≤(a+b 2)2D. (a+b 2)2≤a 2+b 22 5. 函数y =2−3x −4x ,(x >0)的最大值是( ) A. 2−2√

3 B. 2−4√3 C. 2+2√3 D. 2+4√3 6. 已知m >2n ，则m +4n 2−2mn+9

m−2n 的最小值为( )

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

7. 函数f(x)=√x −1+√2−x 的最大值为( ) A. 5 B. 2 C. √5

D. √2 8. 已知a >0,b >0，则6√ab +3a +3

b 的最小值是( ) A. 10

B. 12√2

C. 12

D. 20 9. 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则4a−1+9b−1的最小值为( )

A. 6

B. 9

C. 12

D. 24

10. 已知a >0，b >0，a +b =ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B. 4 C. 6

D. 8 11. 已知x ，y 为正实数，且满足x 3+y 4=1，则xy 的最大值为____________．

A. 48

B. 3

C. 24

D. 6

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

12. 已知函数f(x)={x 2,x ≤1x +6x −6,x >1

，则f(f(−2))=______，f(x)的最小值是______．

13.已知x、y都是正数，

(1)如果xy=15，则x+y的最小值是________；

(2)如果x+y=15，则xy的最大值是________．

14.已知a，b均为正数，且a+b=1，则1

a +1

b

的最小值为________．

三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）

15.求函数y=x2+6x+14

x+1

(x>−1)的最小值．

16.(1)若a>0，b>0，求证：(a+b)(1

a +1

b

)≥4；

(2)设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，若ab>cd，求证：√a+√b>√c+√d．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式求最值，是基础题．

根据基本不等式的使用需满足“一正二定三相等”来一一判断即可．

【解答】

解：对于A ，没有说x 是正数，所以y =x +1x 可以取到负值，故A 错误； 对于B ，要y =√x 2+2+√x 2+2取到最小值2，需满足√x 2+2=√x 2+2，此时x 2=−1，不可能成立，故B 错误； 对于C ，∵ab <0,∴−b a >0，y =b a +a b =−[(−b a )+(−a b )]≤−2√(−b a )⋅(−a b )=−2，当且仅当b a =−1时，等号成立，故C 正确；

对于D ，x >2时，y =x +

1x−2=x −2+1x−2+2≥2√(x −2)⋅1

x−2+2=4，当且仅当x =3时，等号成立，故D 错误．

故选C ． 2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题目．

先化简得y x +1y =1−2x

x +1y =1x +1

y −2，再由“1”的用法，利用基本不等式求最小值即可． 【解答】

解：x 、y 为正实数，且2x +y =1，

则y x +1y =1−2x

x +1y =1x +1

y −2

=(1x +1y )(2x +y)−2 =y x +

2x y +1≥2√y x ·2x y +1=2√2+1.当且仅当y x =2x y 等号成立， 所以y x +1y 的最小值为2√2+1，

故选D ．

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．

根据题意，可知a +(b −1)=1,b −1>0，，然后利用乘法，根据基本不等式，即可求出结果．

【解答】

解：因为a >0，b >1，a +b =2，所以a +(b −1)=1,b −1>0，

根据基本不等式：

1 a +

1

b−1

=(

1

a

+

1

b−1

)[a+(b−1)]

=2+b−1

a

+

a

b−1

⩾2+2√b−1

a ⋅a

b−1

=4，

当且仅当{b−1

a

=a

b−1

a+b=2

，即{

a=1

2

b=3

2

时，取等号．

故选：C．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，属于基础题．

由

2

1

a

+1

b

≤√ab，可得

ab

≤1

a

+1

b

，故A不正确；显然B，C，D均正确．

【解答】

解：当a>0，b>0时，因为

2 1

a +1

b

≤√ab，

所以

ab ≤1

a

+1

b

，当且仅当a=b时等号成立，故A不正确；

显然B，C，D均正确．

故选A．

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于基础题．利用基本不等式可得结论．

【解答】

解：因为y=2−3x−4

x

,(x>0)，

所以3x+4

x ≥2√3x·4

x

=4√3，

当且仅当x=2√3

3

时等号成立，

所以−3x−4

x

≤−4√3，

所以函数y=2−3x−4

x

，(x>0)的最大值是2−4√3，

故选B．

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

由m>2n，得到m−2n>0，由m+4n2−2mn+9

m−2n =m−2n+9

m−2n

，利用基本不等式即可求出．