计数原理、排列与组合 课件-2021届高三数学一轮复习
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(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55＝240 种．
(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
解：甲排尾，共有 A66种不同的排法； 甲没排尾，共有 A51A51A55种不同的排法； 所以共有 A66＋A15A15A55＝720＋3000＝3720 种不同的排法．
计数原理、排列与组合
高三年级 数学
wk.baidu.com
1
PART ONE
计数原理
※重难点解读※ 1.重点：理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)． 2.难点：能正确区分“分类”和“分步”，并能利用两个计数原理解决 一些简单的实际问题．
1．两个计数原理 分类加法计数原理
分步乘法计数原理
完成一件事有 两类不同方案 .
3．全排列（阶乘） 定义：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列.
Ann＝ n×(n－1) ×(n－2) ×…×2×1 = n! ；
规定：0!=1
4．排列数、组合数的公式及性质
(1)Amn ＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
＝
n－m！
公式 (2)Cmn ＝AAmmnm＝nn！n－1n－m2！…n－m＋1
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点
每类方案中的每一种方法都能 独立完成这件事
每步依次完成才算完成这 件事情(每步中的每一种方 法不能独立完成这件事)
题型一 分类加法计数原理的应用 例 1 已知椭圆ax22＋by22＝1，若 a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的 椭圆有（ ）. （A）12 个 （B）16 个 （C）28 个 （D）32 个
解法二：（间接法）椭圆中 a≠b，而 a＝b 有 4 种情况， 所以椭圆的个数为 4×8－4＝28 个. 故选（C）
题型二 分步乘法计数原理的应用
例 2 某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字 母 G，L 中选择，其他四个号码可以从 0～9 这十个数字中选择(数字可以重复)， 某车主从左到右第一个号码只想在 1,3,5,7 中选择，其他号码只想在 1,3,6,8,9 中选择，则供他可选的车牌号码的种数为（ ）.
＝ m！n－m！
性质 Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cnm－1
5．常用结论 (1)①Amn ＝(n－m＋1)Anm－1；
②Amn ＝n－n mAmn－1； ③Amn ＝nAnm－－11. (2)①nAnn＝Ann＋ ＋11－Ann； ②Amn＋1＝Amn ＋mAnm－1.
(3)1!＋2·2!＋3·3!＋…＋n·n!＝(n＋1)!－1. (4)①Cmn ＝n－mm＋1Cmn －1；
※重难点解读※
重点及难点：理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能 用其解决一些简单的实际问题．
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列 组合
按照 一定的顺序 排成 从 n 个不同元素中取
一列 出 m(m≤n)个元素
合成一组
2．排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn 表示． (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 用 Cmn 表示．
解：先将其余四个同学排好，有 A44种方法，此时他们隔开了五个空位， 再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，所以共有 A44A53＝1440 种方法．
(6)若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？ 解：七位同学站成一排，共有 A77＝5040 种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 所以共有 A77－A55A33＝4320 种不同的排法．
(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 (同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、乙两个同学之间排序有 A22种 方法，所以这样的排法一共有 A66A22＝1440 种．
(5)甲、乙、丙三个同学都不相邻，则有多少种不同的排法？
解法一：若焦点在 x 轴上，则 a>b，a＝2 时，b＝1，有 1 个；a＝4 时，b＝1,2,3， 有 3 个；a＝6 时，b＝1,2,3,4,5，有 5 个；a＝8 时，b＝1,2,3,4,5,6,7，有 7 个， 共有 1＋3＋5＋7＝16 个． 若焦点在 y 轴上，则 b>a，b＝3 时，a＝2，有 1 个；b＝4 时，a＝2，有 1 个； b＝5 时，a＝2,4，有 2 个；b＝6 时，a＝2,4，有 2 个；b＝7 时，a＝2,4,6，有 3 个，b＝8 时，a＝2,4,6，有 3 个．共有 1＋1＋2＋2＋3＋3＝12 个． 所以共有 16＋12＝28 个．故选（C）
②Cnm＝n－n mCnm－1； ③Cnm＝mn Cnm－－11. (5)①kCkn＝nCkn－－11； ②Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Cnr ＝Crn＋＋11.
题型一 排列问题 例 3 七位同学站成一排： (1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：其中甲站在中间的位置，共有 A66＝720 种不同的排法．
（A）21 （B）800 （C）960 （D）1000
解：分步完成．从左到右第一个号码有 4 种选法，第二个号码有 2 种选法， 第三个号码有 5 种选法，第四个号码有 5 种选法，第 5 个号码有 5 种选法， 共有 4×2×5×5×5＝1000 种不同的选法. 故选（D）
2 排列与组合 PART TWO
完成一件事需要 两个步骤 .
在第 1 类方案中有 m 种不同的方
条件
做第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，在第 2 类方案中有 n 种不同的
第二步有 n 种不同的方法
方法
结论 完成这件事共有 N＝m＋n 种方法 完成这件事共有 N＝m×n 种方法
2．两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
解：甲排尾，共有 A66种不同的排法； 甲没排尾，共有 A51A51A55种不同的排法； 所以共有 A66＋A15A15A55＝720＋3000＝3720 种不同的排法．
计数原理、排列与组合
高三年级 数学
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1
PART ONE
计数原理
※重难点解读※ 1.重点：理解两个计数原理(分类加法计数原理和分步乘法计数原理)． 2.难点：能正确区分“分类”和“分步”，并能利用两个计数原理解决 一些简单的实际问题．
1．两个计数原理 分类加法计数原理
分步乘法计数原理
完成一件事有 两类不同方案 .
3．全排列（阶乘） 定义：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列.
Ann＝ n×(n－1) ×(n－2) ×…×2×1 = n! ；
规定：0!=1
4．排列数、组合数的公式及性质
(1)Amn ＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
＝
n－m！
公式 (2)Cmn ＝AAmmnm＝nn！n－1n－m2！…n－m＋1
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加
分步、相乘
不同点
每类方案中的每一种方法都能 独立完成这件事
每步依次完成才算完成这 件事情(每步中的每一种方 法不能独立完成这件事)
题型一 分类加法计数原理的应用 例 1 已知椭圆ax22＋by22＝1，若 a∈{2,4,6,8}，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，这样的 椭圆有（ ）. （A）12 个 （B）16 个 （C）28 个 （D）32 个
解法二：（间接法）椭圆中 a≠b，而 a＝b 有 4 种情况， 所以椭圆的个数为 4×8－4＝28 个. 故选（C）
题型二 分步乘法计数原理的应用
例 2 某市汽车牌照号码可以网上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字 母 G，L 中选择，其他四个号码可以从 0～9 这十个数字中选择(数字可以重复)， 某车主从左到右第一个号码只想在 1,3,5,7 中选择，其他号码只想在 1,3,6,8,9 中选择，则供他可选的车牌号码的种数为（ ）.
＝ m！n－m！
性质 Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cnm－1
5．常用结论 (1)①Amn ＝(n－m＋1)Anm－1；
②Amn ＝n－n mAmn－1； ③Amn ＝nAnm－－11. (2)①nAnn＝Ann＋ ＋11－Ann； ②Amn＋1＝Amn ＋mAnm－1.
(3)1!＋2·2!＋3·3!＋…＋n·n!＝(n＋1)!－1. (4)①Cmn ＝n－mm＋1Cmn －1；
※重难点解读※
重点及难点：理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能 用其解决一些简单的实际问题．
1．排列与组合的概念
名称
定义
排列 组合
按照 一定的顺序 排成 从 n 个不同元素中取
一列 出 m(m≤n)个元素
合成一组
2．排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn 表示． (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 用 Cmn 表示．
解：先将其余四个同学排好，有 A44种方法，此时他们隔开了五个空位， 再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，所以共有 A44A53＝1440 种方法．
(6)若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？ 解：七位同学站成一排，共有 A77＝5040 种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 所以共有 A77－A55A33＝4320 种不同的排法．
(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 (同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、乙两个同学之间排序有 A22种 方法，所以这样的排法一共有 A66A22＝1440 种．
(5)甲、乙、丙三个同学都不相邻，则有多少种不同的排法？
解法一：若焦点在 x 轴上，则 a>b，a＝2 时，b＝1，有 1 个；a＝4 时，b＝1,2,3， 有 3 个；a＝6 时，b＝1,2,3,4,5，有 5 个；a＝8 时，b＝1,2,3,4,5,6,7，有 7 个， 共有 1＋3＋5＋7＝16 个． 若焦点在 y 轴上，则 b>a，b＝3 时，a＝2，有 1 个；b＝4 时，a＝2，有 1 个； b＝5 时，a＝2,4，有 2 个；b＝6 时，a＝2,4，有 2 个；b＝7 时，a＝2,4,6，有 3 个，b＝8 时，a＝2,4,6，有 3 个．共有 1＋1＋2＋2＋3＋3＝12 个． 所以共有 16＋12＝28 个．故选（C）
②Cnm＝n－n mCnm－1； ③Cnm＝mn Cnm－－11. (5)①kCkn＝nCkn－－11； ②Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Cnr ＝Crn＋＋11.
题型一 排列问题 例 3 七位同学站成一排： (1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：其中甲站在中间的位置，共有 A66＝720 种不同的排法．
（A）21 （B）800 （C）960 （D）1000
解：分步完成．从左到右第一个号码有 4 种选法，第二个号码有 2 种选法， 第三个号码有 5 种选法，第四个号码有 5 种选法，第 5 个号码有 5 种选法， 共有 4×2×5×5×5＝1000 种不同的选法. 故选（D）
2 排列与组合 PART TWO
完成一件事需要 两个步骤 .
在第 1 类方案中有 m 种不同的方
条件
做第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，在第 2 类方案中有 n 种不同的
第二步有 n 种不同的方法
方法
结论 完成这件事共有 N＝m＋n 种方法 完成这件事共有 N＝m×n 种方法
2．两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理