人教版-数学-九年级下册-构造中位线巧解题

构造中位线巧解题

在解答某些与中点有关的几何说理题时，若能根据题意巧妙地作出中位线，就会有出奇制胜的效果。下面结合几道例题予以说明：

一、说明角相等

例1已知，如图1，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N 。

试说明：∠AME ＝∠DNE 。

解：连结BD ，取BD 的中点O ，连结OE 、OF 。 易得EO ＝2

1AB 且EO ∥AB ，FO ＝2

1CD 且FO ∥CD 。

所以∠OEF ＝∠AME ，∠OFE ＝∠DNE ，

又因为AB ＝CD ，所以EO ＝FO ，所以∠OEF ＝∠OFE ， 所以∠AME ＝∠DNE 二、说明线段相等

例2 已知，如图2，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N 。

试说明：OM ＝ON 。

解：取AB 的中点P ，连结EP 、FP 。

易得EP ＝2

1BD 且EP ∥BD ，FP ＝2

1AC 且FP ∥AC 。 所以∠DNE ＝∠PEN ，∠CMF ＝∠PFM ， 又因为AC ＝BD ，所以PE ＝PF ，

所以∠PEN ＝∠PFM ，所以∠DNE ＝∠CMF ， 所以OM ＝ON 。 三、说明面积相等

例3 已知，如图3，△ABC 的中线AD 、BE 交于点G 。 试说明：S △ABG ＝S 四边形CEGD 解：连结DE ，易得DE ∥AB ，

O

A B

F D

N M E

图1

图2

D A

C

O

E F M

N

P 图3

B

A

C

E

D G

所以S△ABE＝S△ABD。

又因为AD是△ABC的BC边上的中线，

所以S△ABD＝S△ACD，

所以S△ABE＝S△ACD。

所以S△ABE－S△AEG＝S△ACD－S△AEG，

即S△ABG＝S

四边形CEGD

。

四、说明线段垂直

例4 已知，如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝AB，M是CD的中点。

试说明：AM⊥BM。

解：取AB的中点N，连结MN。

易得MN＝

2

1（AD＋BC）。又因为AD＋BC＝AB，

所以MN＝

2

1AB＝AN＝BN，所以AM⊥BM。

图4

B C

M N

A D