(完整版)数学说题—2018年全国卷I第12题

法一：特值法+排除法
中点 正六边 形截面
得面积
比较大小排除
假设面α交于棱 AD,DC,CC',C'B',B'A',A'A的中 点,所得截面为正六边形 MNEFGH.
由对称性可知，此时截面恰好过 正方体的体中心。
因为正方体棱2长为1，可得截面
边 S=长6|M [N12|=•
2
(
所2以)2截• 面sin面6积0为] 2
∵别正与方a体 的(1十,0,二0),条b棱 (可0,1分,0为), c三组(0，,0,分1)
相互平行
∴当每条棱所在直线与面α所成角都相
等aa 时•，nn 应满足：bb
•
n n
c• n c n
代值化简可得：x y ∴面α的法向量可取为
nz
(1,1,1)
由此可知面α是与体对角线垂直的平面
易知体对角线DB⊥面ACB'
所以面α是面ACB'的平行面
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
问题2：截面是什么形状？
正方体有六个面 =》截面 边数最多是六边形
面α∥面ACB'
面面平行的性质定理
所得截面是等 边三角形或对 边平行的六边 形
最后回到本题的问题：求截面面积的最大值 即 求六边形截面的最大值
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
思路分析 作图
条件1.每条棱所在直线与平面α所 成的角相等
问题一：面α在什么位置？
条件2.α截此正方体得到截面
问题二：截面是什么形状？
说命题 说解题 说错点 说方法 说变式 说备考
思路分析
正方体中的12条棱可分为 三组 互相平行的棱
棱BA,BC,BB'与平面α所成的角相等
三条棱长度相等 且交于同一点B
以下是全国卷近几年立体几何考点分布
未来趋势，此类题仍是重点、难点和热点，在考查基 本知识的基础上，突出考查学生的空间想象能力及思维 的深度与广度，应引以重视，夯实基础厚积薄发！
难点易错点
1.不能根据隐含的平行关系将正方体的 十二条棱简化为三条两两垂直的棱
2.认为等边△ACB'是最大截面，误选D
3.不能成功找出对边平行的六边形截面
4.不知道如何去求六边形面积，在转 化的过程中计算出错 错因分析：
1.空间想象能力较弱 2.对“直线和平面所成的角”的定义、 “面面平行的性质定理”等基础知识 不能熟练应用 3.无转化化归思想
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
变式： 已知正方体的棱长为1，用一个平面α去截此正方
体，则α截此正方体所得面积的最大值为 _____ 正确判断几何体被一个平面所截的截面形状， 关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的 形状和位置。
正方体截面形状小结
面积最大
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
3
4
3
4
2
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
【立意】以空间想象能力和推理论 证能力为导向，根据教材主干知识 创设新情境，注重对基础知识的深 层次考查。
【考点】 直线与平面所成角；面面
平行的性质定理。
【思想方法】数形结合，转化化归 ， 函数思想
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
F |MN|=2x ，则|NE|=2(1 x)
G 在△MNE中，由余弦定理得
| ME |2 ( 2x)2 [ 2(1 x)]2 2 • ( 2x) •[ 2(1 x)] • cos120
2x2 2x 2
则截面面积 S 3SMNE SMEG
3[1 2x 2(1 x) sin120] 1（2x2 2x 2）sin 60
空间几何体的截面问题要掌握好
定位
首先，由关键点确定截面与空 间几何体相交的位置
定形 定量
其次，根据题目中已知的条件 与空间点、线、面的位置关系确 定截面的形状和基本特征
最后，运用平面解析几何的有 关性质、定理与公式完成截面相 关的数量计算（如边长，周长， 面积等）
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
根据线面角的定义： 面ACB'与棱BA,BC,BB'所成的角相 等
平面α是 面ACB'平行面
与每条棱所成角都相等的面 α的位置？
方案一：定义法
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
方案二：向量法
知识点：利 用向量的数量 积求夹角
如 面图 α的示法，向建量立空n间坐(标x,系y,，z)设所求截
33
=4 得到选项A的结果，与BCD中的数值比较大小， 可以发现3 3 是其中最大值，故排除BCD,选A
4
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
法二：分割
如图示，连接ME，EG,GM,将平行
2x
M
N 2 (1 x)
六边形分割为 三个全等的三角形和 一个等边三角形
E
H
已知正方体对角线为 2，假设边长
FQ
PG
则截面面积
S SOPQ 3SOMN
1 [ 2x 2(1 x) 2x]2 sin 60 - 3 1（ 2x）2 sin 60
2
2
- 3x2 3x 3 3(x2 x) 3 (0 x 1)
2
2
所以当x=1 时，面积取到最大值 3 3选A
2
4
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
教学反思
此题很好的考察了学生的转化思想和空间想象能力，强调 了基础知识和基本思想的运用，具有很强的分辨性。要想更 好的解决此类问题，平时教学中应强调：
1.立体几何的基本概念、公理、定百度文库等基础（根本）
2.注重公理、定理的应用及辅助线的做法（难点）
3.解题步骤要规范，做到有理有据（易错）
说命题 说考情 说解题 说方法 说错点 说备考
2018年全国卷数学说题
全国卷Ⅰ（理）第12题
1 命题立意
4 错点分析
2 解题总过结 程
5 变式拓展
3 规律方法
6 备考启示
说题 流程
2018年全国卷1（理）12题
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所 成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 （）
A. 3 3 B. C2.3 D. 3 2
2
2
3（- x2 x） 3 (0 x 1) 2
所以当x=1 时，面积取到最大值 3 3 选A
2
4
说命题 说解题 说错点 说方法 说变式 说备考
法三：补形 ON M
H
如图示，延长HM，NE,GF交于点
OPQ，将平行六边形补全为 等边
△OPQ E 已知正方体对角线为 2，假设边长
|MN|=2x，则|NE|= 2(1 x)