(完整版)数学说题—2018年全国卷I第12题

说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
变式： 已知正方体的棱长为1，用一个平面α去截此正方
体，则α截此正方体所得面积的最大值为 _____ 正确判断几何体被一个平面所截的截面形状， 关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的 形状和位置。
正方体截面形状小结
面积最大
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
FQ
PG
则截面面积
S SOPQ 3SOMN
1 [ 2x 2(1 x) 2x]2 sin 60 - 3 1（ 2x）2 sin 60
2
2
- 3x2 3x 3 3(x2 x) 3 (0 x 1)
2
2
所以当x=1 时，面积取到最大值 3 3选A
2
4
说命题 说解题 说规律 说错点 说变式 说备考
2018年全国卷数学说题
全国卷Ⅰ（理）第12题
1 命题立意
4 错点分析
2 解题总过结 程
5 变式拓展
3 规律方法
6 备考启示
说题 流程
2018年全国卷1（理）12题
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所 成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 （）
A. 3 3 B. C2.3 D. 3 2
思路分析 作图
条件1.每条棱所在直线与平面α所 成的角相等
问题一：面α在什么位置？
条件2.α截此正方体得到截面
问题二：截面是什么形状？
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思路分析
正方体中的12条棱可分为 三组 互相平行的棱
棱BA,BC,BB'与平面α所成的角相等
三条棱长度相等 且交于同一点B
法一：特值法+排除法
中点 正六边 形截面
得面积
比较大小排除
假设面α交于棱 AD,DC,CC',C'B',B'A',A'A的中 点,所得截面为正六边形 MNEFGH.
由对称性可知，此时截面恰好过 正方体的体中心。
因为正方体棱2长为1，可得截面
边 S=长6|M [N12|=•
2
(
所2以)2截• 面sin面6积0为] 2
3
4
3
4
2说命题 说解题 说规律 说错 说变式 说备考【立意】以空间想象能力和推理论 证能力为导向，根据教材主干知识 创设新情境，注重对基础知识的深 层次考查。
【考点】 直线与平面所成角；面面
平行的性质定理。
【思想方法】数形结合，转化化归 ， 函数思想
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空间几何体的截面问题要掌握好
定位
首先，由关键点确定截面与空 间几何体相交的位置
定形 定量
其次，根据题目中已知的条件 与空间点、线、面的位置关系确 定截面的形状和基本特征
最后，运用平面解析几何的有 关性质、定理与公式完成截面相 关的数量计算（如边长，周长， 面积等）
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难点易错点
1.不能根据隐含的平行关系将正方体的 十二条棱简化为三条两两垂直的棱
2.认为等边△ACB'是最大截面，误选D
3.不能成功找出对边平行的六边形截面
4.不知道如何去求六边形面积，在转 化的过程中计算出错 错因分析：
1.空间想象能力较弱 2.对“直线和平面所成的角”的定义、 “面面平行的性质定理”等基础知识 不能熟练应用 3.无转化化归思想
∵别正与方a体 的(1十,0,二0),条b棱 (可0,1分,0为), c三组(0，,0,分1)
相互平行
∴当每条棱所在直线与面α所成角都相
等aa 时•，nn 应满足：bb
•
n n
c• n c n
代值化简可得：x y ∴面α的法向量可取为
nz
(1,1,1)
由此可知面α是与体对角线垂直的平面
易知体对角线DB⊥面ACB'
F |MN|=2x ，则|NE|=2(1 x)
G 在△MNE中，由余弦定理得
| ME |2 ( 2x)2 [ 2(1 x)]2 2 • ( 2x) •[ 2(1 x)] • cos120
2x2 2x 2
则截面面积 S 3SMNE SMEG
3[1 2x 2(1 x) sin120] 1（2x2 2x 2）sin 60
2
2
3（- x2 x） 3 (0 x 1) 2
所以当x=1 时，面积取到最大值 3 3 选A
2
4
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法三：补形 ON M
H
如图示，延长HM，NE,GF交于点
OPQ，将平行六边形补全为 等边
△OPQ E 已知正方体对角线为 2，假设边长
|MN|=2x，则|NE|= 2(1 x)
教学反思
此题很好的考察了学生的转化思想和空间想象能力，强调 了基础知识和基本思想的运用，具有很强的分辨性。要想更 好的解决此类问题，平时教学中应强调：
1.立体几何的基本概念、公理、定理等基础（根本）
2.注重公理、定理的应用及辅助线的做法（难点）
3.解题步骤要规范，做到有理有据（易错）
说命题 说考情 说解题 说方法 说错点 说备考
以下是全国卷近几年立体几何考点分布
未来趋势，此类题仍是重点、难点和热点，在考查基 本知识的基础上，突出考查学生的空间想象能力及思维 的深度与广度，应引以重视，夯实基础厚积薄发！
根据线面角的定义： 面ACB'与棱BA,BC,BB'所成的角相 等
平面α是 面ACB'平行面
与每条棱所成角都相等的面 α的位置？
方案一：定义法
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方案二：向量法
知识点：利 用向量的数量 积求夹角
如 面图 α的示法，向建量立空n间坐(标x,系y,，z)设所求截
所以面α是面ACB'的平行面
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问题2：截面是什么形状？
正方体有六个面 =》截面 边数最多是六边形
面α∥面ACB'
面面平行的性质定理
所得截面是等 边三角形或对 边平行的六边 形
最后回到本题的问题：求截面面积的最大值 即 求六边形截面的最大值
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33
=4 得到选项A的结果，与BCD中的数值比较大小， 可以发现3 3 是其中最大值，故排除BCD,选A
4
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法二：分割
如图示，连接ME，EG,GM,将平行
2x
M
N 2 (1 x)
六边形分割为 三个全等的三角形和 一个等边三角形
E
H
已知正方体对角线为 2，假设边长