向量的运算(加法)
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二、研探新知
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： = ．
规定：零向量与任一向量 ，都有 ．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点 ，作 = ， = ，则 = + = +
2.向量的加法法则
（1）共线向量的加法
同向向量反向向量
（2）不共线向量的加法
（1） ；（2） ；（3）
练习：
1． 如图，已知向量 ，作出
（1） （2）
2．如图，在三角形ABC中，作出下列向量：
（1） ；（2） （3）
3．在平行四边形 中，
（1） ，（2）
（3） ，（
4）
4．化简：
5．已知正三角形ABC中，下列等式成立的有
（1） （2）
（3） （4）
例2．在长江南岸某渡口处，江水以 的速度向东流，渡般的速度为 ，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律： + = +
（2）向量加法的结合律：( + ) + = +( + )
证明：如图：使 , , 则
( + )+ = + ， + ( + )=
,∴( + )+ = +( + )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如： ； ．
数学应用：
例1：如图，O为正六边形的中心，作出下列向量：
重点：如何作两个向量的和向量
难点：对向量加法定义的理解.
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念
2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点 到景点 的位移为 ，从景点 到景点 的位移为 ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是
●这里，向量 , , 三者之间有什么关系？
如图，已知向量 、 在平面内任取一点 ，作 = ， ，则向量 叫做 与 的和，记作 + ，即 +
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
特殊情况：
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + | | |+| |;
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示： = ．
平行四边形法则：以同一点 为起点的两个已知向量 ， 为邻边作平行四边形 ，则以 为起点的对角线 就是 与 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
向量Biblioteka Baidu运算:加法
教学目标：
1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。
2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；
3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
例3已知矩形 中，宽为 ，长为 ， ， = ， = ，试作出向量 ，并求出其模的大小。
练习：（1）一架飞机向北飞行 千米后，改变航向向东飞行 千米，则飞行的路程为_____；两次位移的和的方向为北偏东 ，大小为__________千米．
（2）如图，一艘船从 点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 ，求船实际航行的速度的大小与方向。
（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |,当 与 反向时，若| | | |,则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；若| | | |,则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 个向量连加
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： = ．
规定：零向量与任一向量 ，都有 ．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点 ，作 = ， = ，则 = + = +
2.向量的加法法则
（1）共线向量的加法
同向向量反向向量
（2）不共线向量的加法
（1） ；（2） ；（3）
练习：
1． 如图，已知向量 ，作出
（1） （2）
2．如图，在三角形ABC中，作出下列向量：
（1） ；（2） （3）
3．在平行四边形 中，
（1） ，（2）
（3） ，（
4）
4．化简：
5．已知正三角形ABC中，下列等式成立的有
（1） （2）
（3） （4）
例2．在长江南岸某渡口处，江水以 的速度向东流，渡般的速度为 ，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律： + = +
（2）向量加法的结合律：( + ) + = +( + )
证明：如图：使 , , 则
( + )+ = + ， + ( + )=
,∴( + )+ = +( + )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如： ； ．
数学应用：
例1：如图，O为正六边形的中心，作出下列向量：
重点：如何作两个向量的和向量
难点：对向量加法定义的理解.
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念
2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点 到景点 的位移为 ，从景点 到景点 的位移为 ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是
●这里，向量 , , 三者之间有什么关系？
如图，已知向量 、 在平面内任取一点 ，作 = ， ，则向量 叫做 与 的和，记作 + ，即 +
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
特殊情况：
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量 与 不共线时， + 的方向不同向，且| + | | |+| |;
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示： = ．
平行四边形法则：以同一点 为起点的两个已知向量 ， 为邻边作平行四边形 ，则以 为起点的对角线 就是 与 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
向量Biblioteka Baidu运算:加法
教学目标：
1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。
2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；
3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
例3已知矩形 中，宽为 ，长为 ， ， = ， = ，试作出向量 ，并求出其模的大小。
练习：（1）一架飞机向北飞行 千米后，改变航向向东飞行 千米，则飞行的路程为_____；两次位移的和的方向为北偏东 ，大小为__________千米．
（2）如图，一艘船从 点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 ，求船实际航行的速度的大小与方向。
（3）当 与 同向时，则 + 、 、 同向，且| + |=| |+| |,当 与 反向时，若| | | |,则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |；若| | | |,则 + 的方向与 相同，且| + |=| |-| |.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 个向量连加