第四节 分式线性映射
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复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
分式线性映射
3、保对称点性
定理 设点 z1 , z2 关于圆周 C 对称，则在分式线性映射下，它们
P150 定理 6.7
的象点 w1 , w2 也关于象曲线 C 对称。
Γ
O C
z1
z2
Γ
w2
O C
w1
Γ
Γ
22
四、唯一决定分式线性映射的条件
分析
az b 分式线性映射 w 中含有四个常数 a , b , c , d . cz d
w 1 z 是单位圆周对称映射与实轴对称映射的复合。 1 w1 z z
w1
w
11
三、分式线性映射的几种特性
1. 保形性 定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。
P146 定理6.5
注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射， 而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。 2. 保圆性
4
5
6
二、分式线性映射的分解
3. 相似映射
w r z , ( r 为正数 )
i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .
其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。
7
二、分式线性映射的分解
4. 反演(或倒数)映射
(w)
例 已知区域 D { z : | z | 1 , Im z 0 } , 求一分式线性映射，将区域 D 映射
~ Γ
Γ
1
2
~ C
zi 例 求区域 D {z :| z 1 | 2 , | z 1 | 2 }在映射 w zi
下的像区域。 P148 例6.7 解 首先作一个简单的定性分析 (1) 区域 D 的边界 C1 和 C 2 是圆弧段， 且 C1 和 C 2 的交角为 90 度； (2) 由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有保圆性与保角性； (3) 由于 i 被映射为 , i 被映射为 0，因此圆弧 C1 和 C 2 被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。
分式线性映射
2 2
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
代入z平面圆方程得其象曲线方程 代入 平面圆方程得其象曲线方程: 平面圆方程得其象曲线方程
d ( u 2 + v 2 ) + bu − cv + a = 0.
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性. 所以此映射在扩充复平面上具有保圆性
3) 分式线性映射
az + b w = f (z) = (ad − bc ≠ 0) cz + d 1 因为映射由 w = , w = az + b (a ≠ 0) 复合而成 . z 定理二 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 定理二 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射
(1) w = z + b ,
( 2) w = az ,
αζ + β 对w= 的研究可化为对以上映 射的研究 . γζ + δ
1 ( 3) w = . z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
的方向平移一段距离 b 后, 就得到w.
(z) ≡ (w)
w
b
o
z
二、几种简单的分式线性映射
(为方便起见 令w平面与 平面重合 为方便起见, 平面与z平面重合 为方便起见 平面与 平面重合)
1. w = z + b 平移映射
r 在此映射下 , z沿向量 b (即复数 b所表示的向量 )
变换的复合 .
思考题答案
1 z1 = z + i , z2 = , z3 = −( 3 + 4i ) z2 , w = z3 − 3i . z1
复变函数教程 §6-2 分式线性映射
§2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
w
w1
1 ei r
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作 出 点w1关 于 实 轴 对 称 的 点 即 得w(见 图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
第一章第4节线性映射
15/24
Hale Waihona Puke 定理2设是V1到V2的 一 个 线 性 映 射 ， 1 , 2， , n , 和
' ' ' 1 , 2 ， , n 是V1的 两 组 基 , 从 i 到 i'的 过 渡 矩 阵 是 P,
' ' 1 , 2， , n , 和1' , 2 ， , n 是V2的两组基 , 从 i 到 i'的
第四节 线性映射
１．映射 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的．
定义
设有两个非空集合 A, B, 如 果 对 于 A中 任 一
元 素 , 按 照 一 定 规 则 , 总 有 B中 一 个 确 定 的 元 素 和它对应 , 那 么, 这 个 对 应 规 则 称 为 从 合 集A到 集 合 B的 映 射 ,记 作
下面给出一个线性空间中的向量a 在另一个向量空 间中的表示．
9/24
设 V1，故
x1 x 2 (a1 ,a2 , an ) xn 它的像 ( ) V2 , 可 以 写 成
y1 y m 2 ( ) y j j ( 1 , 2 , m ) j 1 ym
过渡矩阵是 Q, 线性映射 在基 1 , 2， , n和 1 , 2， , n
下的矩阵表示为 A,
' ' ' ' ' 在基1 , 2 ， , n 1' , 2 ， , n
下的矩阵表示为 B, 则
B Q1 AP
A与B等价
定理表明：若V1=V2,则 A 与 B 相似，且两个基之间的 过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵．
-唯一确定分式线性映射的条件
又由保圆性可知 | z | 1 上的点比如 1 被映射成 | w | 1
映射成 O 关于单位圆周的对称点, 因此设所求的分 式线性映射为
w a z z
其中a 为常数。
又由于此分式线性映射将实轴的点映射成单位圆周
上的点，特别将坐标原点 0 映射成点 w(| w | 1), 所以
1 | w || a | | | | a | | |
因此 a ei , 所以所求的分式线性映射为
C gz0
C gz0
L g w0
g w0
L
设 z1,z2 , z3 为 C上相异的三点，在分式线性映射下
他们的像为 L上的相异的三点 w1, w2 , w3 ,我们规定 C, L 正向分别为 z1 z2 z3 , w1 w2 w3 的走向， 他们的法向分别为指向指定的区域，则我们可以用下
又由于 f (i) 4 3i, 且 Re(4 3i) 4 0 所以将上
半平面映射成左半平面 Re w 0.
根据上面的讨论可知：在分式线性映射下 1）当两圆周上没有点映射成无穷远点时，这两圆 周的弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域。 2）当两圆周中有一个圆周上的点映射成无穷远点时， 两圆周的弧所围成的区域映射成圆弧与直线所围成的 区域。 3）当两圆周的交点的一个映射成无穷远点时，两圆
分式线性映射
yg i
的保角性, 将
4
原区域映射成
argw 1 o
x
3
ig
4
y
1 g
go
x
4
二 两个重要的分式线性映射
1 将上半平面 Im z 0映射成单位圆| w | 1的分式线性映射
设 (Im 0) 为上半平面上任意一定点，在所求
共形映射-分式线性映射
w f (z)在z0解析, f (z0 ) 0
w f (z)在z0是共形的
Argf
(z0 )为w
f
( z )在z0的转动角
f
(z0 )
为w
f
(z)在z0的伸缩率
§2.分式线性映射(Mobius映射)
1.分式线性映射及其分解
w az b , ad bc 0. cz d
曲线C在z(t0 )处正向切向量的辐角为 Arg z(t0 ).
物理解释: t: 时间, z(t): 位移,
z(t0): 即时速度, z(t0) : 速率
2.解析函数导数的几何意义
w f (z)在D中解析,z0 D, f (z0 ) 0
I) Argf (z0 )
(z)
(w)
z0
A2. 在C上按逆时针方向依次取三点,像点在上按逆(顺)
时针方向分布,则由保角性知:C的内部被映射成了的内
(外)部.
C
z3
z
z1
z2
w3
w
w2
w1
w1 w
w3
w2
4.分式线性映射的保对称性
Thm.(保对称性) z1, z2关(广义)圆周C对称,那么在分式线 性映射下,它们的像点 w1, w2关于C的像曲线对称.
w f (z)
C
w0 Argf (z0 )
O
O
C : z z(t), t ,
:w(t) f (z(t)), t ,
t : C
t :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z0 z(t0 ), z(t0 ) 0
w0 w(t0 ) f (z(t0 ))
唯一决定分式线性映射的条件课件
05
分式线性映射的习题和解答
习题
题目1
给定两个向量空间V和W，以及从V到W的分式线性映射f，如果存在一个常数k使得对于 所有v∈V，都有f(v)=kv，那么f是线性映射吗？给出证明或反例。
题目2
设f是向量空间V到W的满射分式线性映射，如果对于所有v∈V和标量a，都有f(av)=af(v) ，那么称f是可乘的。证明：如果f是可乘的，那么f是线性的。
THANKS
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分式线性映射的分类
有理分式线性映射
有理分式线性映射的分母和分子都是多项式的倍数，即$varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$都是多项式。
无理分式线性映射
无理分式线性映射的分母是多项式的倍数，分子不是多项式的倍数，即 $varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$是多项式，$q(x)$不是多项式的倍数。
许分母为零。
02 03
线性映射
线性映射是保持向量间线性关系的映射，即满足$varphi(x+y) = varphi(x) + varphi(y)$和$varphi(lambda x) = lambda varphi(x)$的 映射。
分式线性映射
分式线性映射允许分母为零，即允许$varphi(0) = 0$，同时保持向量 间的线性关系。
时。
分式线性映射的展望
探索新的应用领域
随着分式线性映射的发展，可以进一 步探索其在其他领域的应用，例如机 器学习、图像处理、数据分析等。
深入研究映射性质
优化算法和实现
为了提高分式线性映射的效率和精度 ，可以进一步优化相关的算法和实现 方式，例如采用更高效的数值计算方 法、优化软件实现等。
34.分式线性映射的基本性质
和z2,都是有限点的情形 . C 与C直交. 再由分式线性映射的保角性 根据引理 , C . . . .z1和 从而根据引理 , w 和 w 关于 G与G C 与C的像 必要性 . 直交 如果 z2关于 1 2 z z z
0
圆周G圆 对称 . , 则通过z1和z2的直 C对称
1
2
线(半径无穷大的圆)显然与圆C直交.
a b 其中 , ; 如果c 0, 则 d d B w A , zC a bc ad d , C . 所以一般的分式线 其中 A , B 2 c c c
性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成: 1 ( 3) w . (1) w z b , ( 2) w az , z
dw bc ad 0, 故w 在 z 0 处是保角 z 0 时, 2 dz c
映射, 即分式线性映射在z=处是保角映射.
总之, 分式线性映射是扩充复平面间的保角映射.
(3) 保圆性
保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周
的性质. 特别地, 将直线看作半径为无穷大的圆周.
cz d 0 时, 已知分式线性映射是保角映射. 而当
d cz d 0 时, 分式线性映射把 z 映射成无穷 c 远点. 下面引入曲线在无穷远点交角的概念.
设C1和C2是z平面上过无穷远点的曲线, 如果 1 C1和C2在反演映射 w 下的像分别为G1和G2, 则 z
G1与G2在原点w=0处的交角称为C1和C2在z=处的 交角.
(z) (w)
这是模变化为r 倍(r >1
时放大, 0<r <1时缩小), 而 辐角不变的映射.
z
w
w
z
o
0
圆周G圆 对称 . , 则通过z1和z2的直 C对称
1
2
线(半径无穷大的圆)显然与圆C直交.
a b 其中 , ; 如果c 0, 则 d d B w A , zC a bc ad d , C . 所以一般的分式线 其中 A , B 2 c c c
性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成: 1 ( 3) w . (1) w z b , ( 2) w az , z
dw bc ad 0, 故w 在 z 0 处是保角 z 0 时, 2 dz c
映射, 即分式线性映射在z=处是保角映射.
总之, 分式线性映射是扩充复平面间的保角映射.
(3) 保圆性
保圆性是指在扩充复平面上将圆周映射为圆周
的性质. 特别地, 将直线看作半径为无穷大的圆周.
cz d 0 时, 已知分式线性映射是保角映射. 而当
d cz d 0 时, 分式线性映射把 z 映射成无穷 c 远点. 下面引入曲线在无穷远点交角的概念.
设C1和C2是z平面上过无穷远点的曲线, 如果 1 C1和C2在反演映射 w 下的像分别为G1和G2, 则 z
G1与G2在原点w=0处的交角称为C1和C2在z=处的 交角.
(z) (w)
这是模变化为r 倍(r >1
时放大, 0<r <1时缩小), 而 辐角不变的映射.
z
w
w
z
o
分式线性映射及应用
NUDT
§2 分式线性映射
分式线性映射 w az b (ad bc 0)
cz d
总结分式线性映射的性质:
1.保角性
分式线性映射是扩充复平面到扩充复平面的一对一的 保角映射 2.保圆性 分式线性映射将扩充复平面上的圆映成到扩充复平面 上的圆 3.保对称性
设 z1和 z2关于圆 C 对称，分式线性映射 w f (z)将 z1和 z2 映成 w平面上的点 w1 和 w2 ，将圆 C映成 w平面上圆 ， 则w1和 w2关于圆 对称.
§2 分式线性映射
z
. z0. z1
R C
.z2
w.2
C
w az b cz d
w
.w1 .w0
保对称性
proof .z1, z2关于圆C对称由引理可知 : 过z1, z2任一圆C必与圆C正交
又点w1,
w2,圆, 是点z1,
z2及圆C, C经过w
az b cz d
映射之后得到的
再由分式线性映射的保角性可得：经过点w1, w2的任一圆必与圆正交 由引理：w1, w2关于圆对称。
从保角性出发可看出分式线性映射是办不到的.
w z2 提问: w 是z共2 形映射?
在第一象限上是单叶解析函数,即在第一象限是 共形映射.
✓ 但在原点处不是共形的!
NUDT
§4 初等函数的映射性质
1. 幂函数 w za
z-平面
O
w za
zaw
w-平面
a
O
z reiargz , w z a r aeia argz
定理 若函数 f (z)在区域 D 内解析，且 f (z) 0 (z D) ，则 f (z)为区域 D内的共形映射.
《复变函数与积分变换》§6.2 分式线性映射
§6.2 分式线性映射
一 分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一 分式线性映射
一 分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充 复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 ．
二 分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二 分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点 关于圆周的对称点为圆心 O ．
二 分式线性映射的分解
一 分式线性映射
分式线性映射定义为 w az b cz d
a 、b 、c 、d 均为复常数．
ab
其中
0
cd
条件 ad bc 0
是为了使
dw dz
ad bc (cz d )2
0
因此分式线性映射是保角映射．
对于分式线性映射 w az b cz d
在扩充复平面上补充定义如下：
当c0时
z d 映射为 w c
z 映射为 w a c
当 c0时
z 映射为 w
一 分式线性映射
一 分式线性映射
容易求出该映射的逆映射 z dw b cw a
d b
由于
c
ad bc 0 a
因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性映射, 且为扩充 复平面上的一一映射．容易验证分式线性映射的复合仍是分式 线性映射．
则映射化为
u v
x y
b1 b2
平移公式
(2) w ei z 为实数
由 w z , Arg w Arg z
则该映射保持 z 的模不变，辐角旋转 ．
二 分式线性映射的分解
(3) w kz (k 0)
则 w k z , Arg w Arg kz Arg z
该映射保持 z 的方向不变，模放大 k 倍．
C
r
O P
P
二 分式线性映射的分解
如图，从 P 作圆周 C 的切线 PT ，
CT
由 T 作 OP 的垂线 TP 与 OP 交于P ，
r
则 P 与 P关于圆周 C 对称．
O P
P
规定
无穷远点 关于圆周的对称点为圆心 O ．
二 分式线性映射的分解
分式线性映射及应用
z1 w1 a ? z 2 w 2 b ? c ? z3 w3
NUDT
§3 唯一决定分式线性映射的条件
j
** 设在 z 平面上任意给定三个相异的点 z
( j 1, 2 , 3 )
，在 w
平面也任意给定三个相异的点w j ( j 1, 2 , 3 ) ，则存在唯一 的分式线性映射，将 z j ( j 1, 2 , 3 ) 依次映射成 w j ( j 1, 2 , 3 ) . 该分式线性映射 w f ( z ) 由下面的方程给出
C
又 z 0 z R , z 1 z 0 z 2 z 0 z 0 z
2
R
2
NUDT
§2 分式线性映射
z
.z
w2
2
.
.
z0
C
.
z1
w
az b cz d
w
. w1 .w 0
R
保对称性
C
proof . z 1 , z 2 关于圆 C 对称由引理可知
NUDT
§2 分式线性映射
3.保对称性
设 z 1 和 z 2关于圆 C 对称，分式线性映射w f ( z ) 将 z 1和 z 2 映成 w 平面上的点 w 1 和 w 2 ，将圆 C 映成 w 平面上圆 ， 则 w 1 和 w 2 关于圆 对称.
.z .
z0 z1
w2
2
w
az b cz d
w
ze
Exercise2.将上半平面映成上半平面的分式线性映射应满足 a , b , c , d R a, ad bc 0 a a a 的条件是 _______________________.
NUDT
§3 唯一决定分式线性映射的条件
j
** 设在 z 平面上任意给定三个相异的点 z
( j 1, 2 , 3 )
，在 w
平面也任意给定三个相异的点w j ( j 1, 2 , 3 ) ，则存在唯一 的分式线性映射，将 z j ( j 1, 2 , 3 ) 依次映射成 w j ( j 1, 2 , 3 ) . 该分式线性映射 w f ( z ) 由下面的方程给出
C
又 z 0 z R , z 1 z 0 z 2 z 0 z 0 z
2
R
2
NUDT
§2 分式线性映射
z
.z
w2
2
.
.
z0
C
.
z1
w
az b cz d
w
. w1 .w 0
R
保对称性
C
proof . z 1 , z 2 关于圆 C 对称由引理可知
NUDT
§2 分式线性映射
3.保对称性
设 z 1 和 z 2关于圆 C 对称，分式线性映射w f ( z ) 将 z 1和 z 2 映成 w 平面上的点 w 1 和 w 2 ，将圆 C 映成 w 平面上圆 ， 则 w 1 和 w 2 关于圆 对称.
.z .
z0 z1
w2
2
w
az b cz d
w
ze
Exercise2.将上半平面映成上半平面的分式线性映射应满足 a , b , c , d R a, ad bc 0 a a a 的条件是 _______________________.
§6.2 分式线性映射 18页PPT文档
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与 z 2 是关于圆周 C 的一对
r
则称 P 与 P 关于
O P
P
圆周 C 对称。
如图，从 P 作圆周 C 的切线 P T ，
由 T 作 O P 的垂线 T P 与 O P 交于 P ，
则 P 与 P 关 于圆周 C 对称。
规定：无穷远点
CT
关于圆周的对称点
r
为圆心 O 。
O P
P
若设
z rei ，则 1
角的。
综上可得下面定理。 定理6.6 分式线性映射在扩充复平面上是 一一对应的保角映射。
2、保圆性 在扩充复平面上直线可看作是半径无穷
大的圆周， 以下提到圆周时均包括直线。
z为平移变换
ei z 为旋转变换 kz 为将模放大 k 倍
这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，
该性质称为保圆性。
下面讨论反演变换
1
是否具有保圆性。
z
z 平面上的圆方程为：
A (x2y2) B x C y D 0
令 Az0x时为iy直、线 uiv
则 1 变形为：u iv 1
z
x iy
整理得： x
u2
u
v2
、
y
v u2 v2
代入圆方程为：
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与 z 2 是关于圆周 C 的一对
r
则称 P 与 P 关于
O P
P
圆周 C 对称。
如图，从 P 作圆周 C 的切线 P T ，
由 T 作 O P 的垂线 T P 与 O P 交于 P ，
则 P 与 P 关 于圆周 C 对称。
规定：无穷远点
CT
关于圆周的对称点
r
为圆心 O 。
O P
P
若设
z rei ，则 1
角的。
综上可得下面定理。 定理6.6 分式线性映射在扩充复平面上是 一一对应的保角映射。
2、保圆性 在扩充复平面上直线可看作是半径无穷
大的圆周， 以下提到圆周时均包括直线。
z为平移变换
ei z 为旋转变换 kz 为将模放大 k 倍
这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，
该性质称为保圆性。
下面讨论反演变换
1
是否具有保圆性。
z
z 平面上的圆方程为：
A (x2y2) B x C y D 0
令 Az0x时为iy直、线 uiv
则 1 变形为：u iv 1
z
x iy
整理得： x
u2
u
v2
、
y
v u2 v2
代入圆方程为：
§6.2 分式线性映射
cz d
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
a c
bc ad c2
z
1 d
记
bc ad c2
rei
c
则上式可分解为以下映射的有限次复合
z, ei z , rz, 1
z
下面分别讨论这四类映射：
（1） z
设 uiv, z xiy, b1 ib2,
则映射化为
u
v
x y
b1 b2
平移公式
（2） ei z 为实数
D 0时为直线
说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。
定理6.7 分式线性映射将扩充 z 平面上的
圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性)
3、保对称性
引理6.1 点 z 1 与 z 2 关于圆周 C 对称的充分 必要条件是， 经过 z 1 与z 2 的所有圆周都与 圆周 C 正交。（证略）
定理6.8 设点 z 1 与z 2 是关于圆周 C 的一对
对称点， 则在分式线性映射下，它们的像
点 1 与 2 是关于 C 的像曲线 的对称点。
（证略）
先求 z 关于单位圆周 z 1 的对称点 1，
再求 1关于实轴的对称点， y
z
即得 。
C
1
O
x
Hale Waihona Puke 三、分式线性映射的性质1、保角性
对于映射z、 ei z 、 kz
显然在 z时导数非零，是保角的。 对于反演映射 1 ，显然在 z 0 ， z
z 时，导数非零，是保角的。
下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：
先给出关于圆周的对称点的定义：
设 C 为以原点 O 为圆心， r 为半径的圆周。
在以圆心为起点的射线上，
若有两点 P 与 P ，满足 C
(优选)第四节分式线性映射
1 z2
0, 所定两条伸向无穷远点的曲线在无穷远
点的交角等于它们由反演映射w 1 所映成的过原点w 0 z
的两条曲线在原点的交角,则可以认为w 1 在z 0也是共 z
形的,因此反演变换w 1 在扩充复平面是共形映射,根据 z
这样的约定,平移、 旋转、 伸缩在扩充复平面是共形映射
伸缩), w
z3
a c
(平移)由它们的复合得到分式线性映射
(4.1).另一方面, 直接计算可知, 两个分式线性映射的复合
仍是分式线性映射.
例如, 设
w
a1 c1
b1 d1
, (a1d1
b1c1
0),
a2z b2 c2z d2
,(a2d2
b2c2
0),
把后式代入前式,复合后得 w az b .
的逆映射为 z dw b , cw a
因(d )(a) bc ad bc 0,所以(4.5)是分式线性映射. 把性质1说成分式线性映射具有保角性.
性质2 分式线性映射(4.1)把扩充z平面的圆周映为扩 充w平面的圆周.
这一性质包含下述四种情况 : 1)把z平面的通常圆周 映为w平面的通常圆周.2)把z平面的通常圆周映为w 平面的直线.3)把z平面的直线映为w平面的圆周.4) 把z平面的直线映为w平面的直线. 把性质2说成分式线性映射具有保圆性.
w az可由旋转和伸缩复合得到,假定a rei ,则
w rei z,用z1 ei z, w rz1可复合得到w az.
w az b称为整线性映射,它可由旋转、 伸缩和
平移复合得到.
现在我们证明: 一般的分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反演四个基本映射复合得到.
若c 0则d 0,否则ad bc 0,这时
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i 1 e 令z re i , 则 w , z r
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
反之, 形如(4.10)的分式线性映射必将上 半平面 Im( z ) 0 映成单位圆 w 1.这是因为当z取实数时, 有
z i z we e 1. z z 即把实轴映射成w 1.又因上半平面中的 z 映射成
i
w 0, 所以(4.10)必将 Im( z ) 0映射成 w 1. 据上所论, 把上半平面映射成单位 圆的映射必是具
1 的点).因此当z a时w 0, z 时w .满足这些条件的 a 分式线性映射具有如下 的形式 : za za w k( ) k a( ) 1 az 1 z a 图7-20 ' za k( ), k ' k a . 1 az 由于z平面上单位圆周上的点 映成w平面上单位圆周上
点为 i与i , 且互相正交.交 点 i映射成无穷远点 , i映射 成原点.因此所给的区域经 映射后映射成以原点为 顶点
图7-17
的角形区域, 张角为 . 2 取所给圆弧C1与正实轴的交点 z 2 1, 它的对应点是
2 1 i ( 2 1 i) 1 i w . 2 2 1 i ( 2 1) 1 2
对a , b, c , d取特殊值可得到下列下 列最基本的分式线 性映射 : (1)平移映射 w z b; ( 2)伸缩映射 w rz( r 0); 1 ( 3)旋转映射 w e z (为实数); (4)反演映射 w . z
i
前三个映射的几何意义 很清楚, 它们的导数均不为零 , 所以都是全平面的共形 映射.下面侧重说明反演映射 ,
二、 分式线性映射的性质
性质1 分式线性映射(4.1)是在扩充复平面上的双 方单 值共形映射(保角映射), 它的逆映射也是共形映 射.
证明 由定理1知分式线性映射可由平 移、 旋转、 伸缩 和反演四种变换复合得 到, 而这四种变换在扩充复 平面 都是双方单值的共形映 射 ,因此分式线性映射 (4.1)也是 在扩充复平面上双方单 值的共形映射.直接计算可知(4.1) dw b 的逆映射为 z , cw a 因( d )( a ) bc ad bc 0, 所以(4.5)是分式线性映射 .
有(4.10)形式的分式线性映射 .
例4 : 求将单位圆z 1映射成单位圆w 1的分式线性 映射.
[解] 设z平面上单位圆z 1内部的一点a映射成w平面上 的单位圆w 1的中心w 0.这时与点a对称于单位圆周z 1 1的点 应该被映射成w平面上的无穷远点 (即与w 0对称 a
i
(4.11)
反之, 形如(4.11)的分式线性映射必将单 位圆 z 1映射成 单位圆 w 1上的点 :
把性质2说成分式线性映射具有 保圆性.
[性质2的证明] 因为圆周或直线经过平 移、 旋转、 伸缩 仍旧是圆周或直线 ,因此只需证明扩充 z平面上的直线经 反演映射后是扩充 w平面的圆周. 扩充z平面的圆周在直角坐标 系下可写成
a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 (4.6) 1 当且仅当a 0时(4.6)表示直线, 把反演映射w 改写为 z 1 z , 将z x iy , w u iv代入, 并分开实部和虚部可得 w u v x 2 2, y 2 2, u v u v 1 代入(4.6)化简可知 : (4.6)经w 映射后的像为 z d ( u2 v 2 ) bu cv a 0 (4.7) 这是扩充w平面的圆周,当d 0时表示直线.
a 伸缩), w z3 (平移)由它们的复合得到分式 线性映射 c (4.1).另一方面, 直接计算可知, 两个分式线性映射的复 合 仍是分式线性映射 .
a1 b1 例如, 设 w , (a1d1 b1c1 0), c1 d1 a2 z b2 , (a2d 2 b2c2 0), c2 z d 2 az b 把后式代入前式 , 复合后得 w . cz d 在直接算出a , b, c , d后, 可以证明成立等式
把性质1说成分式线性映射具有 保角性.
性质2 分式线性映射(4.1)把扩充z平面的圆周映为扩 充w平面的圆周.
这一性质包含下述四种 情况 : 1)把z平面的通常圆周 映为w平面的通常圆周 .2)把z平面的通常圆周映为 w 平面的直线.3)把z平面的直线映为w平面的圆周.4) 把z平面的直线映为 w平面的直线.
必映成w , 从而所求的分式线性映 射具有下列形式 . z w k( ), 其中k为常数. z z 因为 w k , 而实轴上的点z对应着 w 1上的点, z z z 这时z z , 故 1, 所以 k 1, 即k e i , 这里 z z 是任意常数.因此所求的分式线性映 射一般形式为 i z we ( ), (Im( ) 0) (4.10) z
第四节 分式线性映射
• 分式线性映射 • 分式线性映射的性质
一、 分式线性映射
定义1 复变函数 az b w (ad bc 0) cz d 称为分式线性映射 , 其中a , b, c , d为常数.
共形映射基本又很重要 的一类映射.
(4.1)
分式线性映射又称分式 线性变换, Mobius变换等, 它是
平移复合得到 . 现在我们证明: 一般的分式线性映射 (4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反演四个基本映 射复合得到.
若c 0则d 0, 否则ad bc 0, 这时
a b w z , d d 它是整线性映射, 可由平移、Байду номын сангаас旋转、 伸缩得到. 若c 0, 则改写(4.1)为
d ad 1 az b 1 a( z c ) b c a bc ad w (4.2) d d c zd c c 2 z c (z ) c c c d 1 bc ad 令z1 z (平移), z2 (反演), z3 z2 ( 旋转和 2 c z1 c
引理 下列陈述等价: (1) z1和z2 关于圆周 : z a R对称; ( 2) ( z1 a )( z2 a ) R 2 (4.9);
图7-18
( 3) 过z1与z2的任一圆周K均与圆周正交. R2 (4.9)有时写成 z1 a (4.9)' z2 a
az b 性质3 设分式线性映射 w (ad bc 0) cz d 把扩充z平面的圆周及两点z1和z2分别映成扩充w平面的 圆周'及两点w1和w2 .若z1和z2 关于对称, 则w1和w2 关于' 对称. [证明] 根据上面的引理, 只需证明w平面上经过w1和w2
的点, 所以当z 1时 w 1.将z 1代入上式, 得 1 a k w 1. 1 a
'
1 a 1 a , k ' 1,即k ' e i (是任意实数)
由此可知, 所求的分式线性映射具 有如下的形式: za we ( ) ( a 1) 1 az
例3 : 求将上半平面Im( z ) 0映成单位圆 w 1 的分式线性映射.
[解 ] 如果把上半平面看 成是半径为无穷大的圆 域, 那末实轴就相当于圆域 的
图7-19
边界圆周.因为分式线性映射具有 保圆性,因此它必能将 上半平面Im( z ) 0映射成单位圆 w 1.由于上半平面总 有一点z 要映成单位圆周 w 1的圆心w 0、 实轴要 映成单位圆周 , 而z 与z 是关于实轴的一对对称 点, z 0与z 是与之对应的关于圆周w 1的一对对称点, 所以根据分式线性映射 具有保对称点不变的性 质知, z
1 的两条曲线在原点的交 角, 则可以认为w 在z 0也是共 z 1 形的,因此反演变换w 在扩充复平面是共形映 射, 根据 z 这样的约定, 平移、 旋转、 伸缩在扩充复平面是共 形映射
w az可由旋转和伸缩复合得 到, 假定a re i , 则 w re i z , 用z1 e i z , w rz1可复合得到w az. w az b称为整线性映射, 它可由旋转、 伸缩和
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
反之, 形如(4.10)的分式线性映射必将上 半平面 Im( z ) 0 映成单位圆 w 1.这是因为当z取实数时, 有
z i z we e 1. z z 即把实轴映射成w 1.又因上半平面中的 z 映射成
i
w 0, 所以(4.10)必将 Im( z ) 0映射成 w 1. 据上所论, 把上半平面映射成单位 圆的映射必是具
1 的点).因此当z a时w 0, z 时w .满足这些条件的 a 分式线性映射具有如下 的形式 : za za w k( ) k a( ) 1 az 1 z a 图7-20 ' za k( ), k ' k a . 1 az 由于z平面上单位圆周上的点 映成w平面上单位圆周上
点为 i与i , 且互相正交.交 点 i映射成无穷远点 , i映射 成原点.因此所给的区域经 映射后映射成以原点为 顶点
图7-17
的角形区域, 张角为 . 2 取所给圆弧C1与正实轴的交点 z 2 1, 它的对应点是
2 1 i ( 2 1 i) 1 i w . 2 2 1 i ( 2 1) 1 2
对a , b, c , d取特殊值可得到下列下 列最基本的分式线 性映射 : (1)平移映射 w z b; ( 2)伸缩映射 w rz( r 0); 1 ( 3)旋转映射 w e z (为实数); (4)反演映射 w . z
i
前三个映射的几何意义 很清楚, 它们的导数均不为零 , 所以都是全平面的共形 映射.下面侧重说明反演映射 ,
二、 分式线性映射的性质
性质1 分式线性映射(4.1)是在扩充复平面上的双 方单 值共形映射(保角映射), 它的逆映射也是共形映 射.
证明 由定理1知分式线性映射可由平 移、 旋转、 伸缩 和反演四种变换复合得 到, 而这四种变换在扩充复 平面 都是双方单值的共形映 射 ,因此分式线性映射 (4.1)也是 在扩充复平面上双方单 值的共形映射.直接计算可知(4.1) dw b 的逆映射为 z , cw a 因( d )( a ) bc ad bc 0, 所以(4.5)是分式线性映射 .
有(4.10)形式的分式线性映射 .
例4 : 求将单位圆z 1映射成单位圆w 1的分式线性 映射.
[解] 设z平面上单位圆z 1内部的一点a映射成w平面上 的单位圆w 1的中心w 0.这时与点a对称于单位圆周z 1 1的点 应该被映射成w平面上的无穷远点 (即与w 0对称 a
i
(4.11)
反之, 形如(4.11)的分式线性映射必将单 位圆 z 1映射成 单位圆 w 1上的点 :
把性质2说成分式线性映射具有 保圆性.
[性质2的证明] 因为圆周或直线经过平 移、 旋转、 伸缩 仍旧是圆周或直线 ,因此只需证明扩充 z平面上的直线经 反演映射后是扩充 w平面的圆周. 扩充z平面的圆周在直角坐标 系下可写成
a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 (4.6) 1 当且仅当a 0时(4.6)表示直线, 把反演映射w 改写为 z 1 z , 将z x iy , w u iv代入, 并分开实部和虚部可得 w u v x 2 2, y 2 2, u v u v 1 代入(4.6)化简可知 : (4.6)经w 映射后的像为 z d ( u2 v 2 ) bu cv a 0 (4.7) 这是扩充w平面的圆周,当d 0时表示直线.
a 伸缩), w z3 (平移)由它们的复合得到分式 线性映射 c (4.1).另一方面, 直接计算可知, 两个分式线性映射的复 合 仍是分式线性映射 .
a1 b1 例如, 设 w , (a1d1 b1c1 0), c1 d1 a2 z b2 , (a2d 2 b2c2 0), c2 z d 2 az b 把后式代入前式 , 复合后得 w . cz d 在直接算出a , b, c , d后, 可以证明成立等式
把性质1说成分式线性映射具有 保角性.
性质2 分式线性映射(4.1)把扩充z平面的圆周映为扩 充w平面的圆周.
这一性质包含下述四种 情况 : 1)把z平面的通常圆周 映为w平面的通常圆周 .2)把z平面的通常圆周映为 w 平面的直线.3)把z平面的直线映为w平面的圆周.4) 把z平面的直线映为 w平面的直线.
必映成w , 从而所求的分式线性映 射具有下列形式 . z w k( ), 其中k为常数. z z 因为 w k , 而实轴上的点z对应着 w 1上的点, z z z 这时z z , 故 1, 所以 k 1, 即k e i , 这里 z z 是任意常数.因此所求的分式线性映 射一般形式为 i z we ( ), (Im( ) 0) (4.10) z
第四节 分式线性映射
• 分式线性映射 • 分式线性映射的性质
一、 分式线性映射
定义1 复变函数 az b w (ad bc 0) cz d 称为分式线性映射 , 其中a , b, c , d为常数.
共形映射基本又很重要 的一类映射.
(4.1)
分式线性映射又称分式 线性变换, Mobius变换等, 它是
平移复合得到 . 现在我们证明: 一般的分式线性映射 (4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反演四个基本映 射复合得到.
若c 0则d 0, 否则ad bc 0, 这时
a b w z , d d 它是整线性映射, 可由平移、Байду номын сангаас旋转、 伸缩得到. 若c 0, 则改写(4.1)为
d ad 1 az b 1 a( z c ) b c a bc ad w (4.2) d d c zd c c 2 z c (z ) c c c d 1 bc ad 令z1 z (平移), z2 (反演), z3 z2 ( 旋转和 2 c z1 c
引理 下列陈述等价: (1) z1和z2 关于圆周 : z a R对称; ( 2) ( z1 a )( z2 a ) R 2 (4.9);
图7-18
( 3) 过z1与z2的任一圆周K均与圆周正交. R2 (4.9)有时写成 z1 a (4.9)' z2 a
az b 性质3 设分式线性映射 w (ad bc 0) cz d 把扩充z平面的圆周及两点z1和z2分别映成扩充w平面的 圆周'及两点w1和w2 .若z1和z2 关于对称, 则w1和w2 关于' 对称. [证明] 根据上面的引理, 只需证明w平面上经过w1和w2
的点, 所以当z 1时 w 1.将z 1代入上式, 得 1 a k w 1. 1 a
'
1 a 1 a , k ' 1,即k ' e i (是任意实数)
由此可知, 所求的分式线性映射具 有如下的形式: za we ( ) ( a 1) 1 az
例3 : 求将上半平面Im( z ) 0映成单位圆 w 1 的分式线性映射.
[解 ] 如果把上半平面看 成是半径为无穷大的圆 域, 那末实轴就相当于圆域 的
图7-19
边界圆周.因为分式线性映射具有 保圆性,因此它必能将 上半平面Im( z ) 0映射成单位圆 w 1.由于上半平面总 有一点z 要映成单位圆周 w 1的圆心w 0、 实轴要 映成单位圆周 , 而z 与z 是关于实轴的一对对称 点, z 0与z 是与之对应的关于圆周w 1的一对对称点, 所以根据分式线性映射 具有保对称点不变的性 质知, z
1 的两条曲线在原点的交 角, 则可以认为w 在z 0也是共 z 1 形的,因此反演变换w 在扩充复平面是共形映 射, 根据 z 这样的约定, 平移、 旋转、 伸缩在扩充复平面是共 形映射
w az可由旋转和伸缩复合得 到, 假定a re i , 则 w re i z , 用z1 e i z , w rz1可复合得到w az. w az b称为整线性映射, 它可由旋转、 伸缩和