现代设计方法第二章优化设计1-2
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现代设计方法---优化设计
E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
13
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
现代设计方法-优化设计部分PPT共49页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从ຫໍສະໝຸດ 边走远。-戴尔．卡耐基。梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
现代设计方法-优化设计部分 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
现代设计理论与方法(优化设计第二章)
证明：作变换 X Y Q b 式中： (Y ) f (Y Q 1b)
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
现代设计方法课件----讲稿
讲稿课程名称：现代设计方法Modern Design Method 课型：选修课总学时：40学分数：2任课教师：ooooo授课对象：2006级华中农业大学工学院《现代设计方法》课程大纲第一章绪论（2h）第一节概述第二节现代设计方法的概念第三节现代设计方法的主要内容第四节现代设计方法的学习的目的与意义第二章优化设计（20h）第一节优化设计的基本概念与数学模型第二节优化设计的几何意义与终止准则第三节一维搜索方法第四节无约束优化方法第五节约束优化方法第六节多目标优化方法与离散变量优化问题第三章可靠性设计（8h）第一节可靠性设计概述第二节可靠性基本概念和理论第三节系统可靠性模型的建立、可靠性预计和分配第四节可靠性设计方法第四章有限元法（8h）第一节有限元法概述第二节有限元法的基本思想及其应用第三节有限元法求解实例第四节几种大型有限元分析系统简介第五章其他现代设计方法（2h）第一节可靠性设计第二节动态设计第三节人机工程学第四节其它方法简介本章小结第一章绪论第一节概述一、现代设计的概念设计：设计在通俗中说来是把各种先进技术成果转化为生产力的一种手段和方法。
它是从给出的合理的目标参数出发，通过各种方法和手段创造出一个所需的优化系统或结构的过程。
设计方法设计中的一般过程及解决具体设计问题的方法、手段。
传统设计(Traditional Design)：人类的设计活动经历了直觉设计阶段、经验设计阶段、半理论半经验设计阶段，即所谓的传统设计阶段。
现代设计(Modern Design)：以市场需求为驱动、以知识获取为中心、以现代设计思想、方法和现代技术手段为工具，考虑产品的整个生命周期和人、机、环境相容性等因素的设计。
二、现代设计方法的产生背景（以机械工业为例）：1)设计理论和实践的变化：过去，机械产品设计理论主要以力学为基础，在实践上主要以经验作为基础，现在，作为基础的理论远不止力学，还有系统论、控制论、信息论、传感理论、信号处理理论、电子学、计算机等等，作为实践的基础远不止经验，而且还涉及各有关的学科，同时，自身也在形成自己的学科体系——制造理论、工艺理论。
现代设计方法课件PPT 第2章 优化设计的数学基础
1 [ X X (1) ]T 2 f ( X (1) )[ X X (1) ] 2
3x2 6 6(x1 1)2 6x12 12x1 3x2
将 X (点 X (1) 的值相等。
重庆大学机械工程学院
5
现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
分析式（2-9）中的取值对方向导数 f ( X k) ) / S 影响，可知，在设计空间
中，凡是与梯度方向成锐角的方向函数值都增加；凡是与梯度方向成钝角的方
向函数值都减小；梯度 f (X ) 的方向为函数 f(X) 过 X (k) 点的等值线（或等值面）
的外法线方向。
Δ Δ Δ
x2
变化率为零的方向
下降方向
将代数式（2-6）写成矩阵形式，则有
f
(X (k) S
)
f
(X (k) x1
)
cos1
f
(X (k) x2
)
cos2
f ( X (k) )
x1
f ( X (k) ) cos1
x2
cos
2
f ( X (k) )
令
f ( X (k) )
x1
,
f ( X (k) )
S
cos1 cos2
当 X (k) 为函数的极小点时，有 f (X ) f (X (k) ) 0 ，故必有
[ X X (k) ]T 2 f ( X (k) )[ X X (k) ] 0
根据线性代数的二次型有关知识，上式说明函数的二阶导数矩阵必 须是正定的，这就是多元函数极小值的充分条件。故，多元函数在点 X (k) 取得极小值的充分必要条件是：函数在该点的梯度为零，海赛矩阵（二 阶导数矩阵）正定，即
求展开式的二次项
3x2 6 6(x1 1)2 6x12 12x1 3x2
将 X (点 X (1) 的值相等。
重庆大学机械工程学院
5
现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
分析式（2-9）中的取值对方向导数 f ( X k) ) / S 影响，可知，在设计空间
中，凡是与梯度方向成锐角的方向函数值都增加；凡是与梯度方向成钝角的方
向函数值都减小；梯度 f (X ) 的方向为函数 f(X) 过 X (k) 点的等值线（或等值面）
的外法线方向。
Δ Δ Δ
x2
变化率为零的方向
下降方向
将代数式（2-6）写成矩阵形式，则有
f
(X (k) S
)
f
(X (k) x1
)
cos1
f
(X (k) x2
)
cos2
f ( X (k) )
x1
f ( X (k) ) cos1
x2
cos
2
f ( X (k) )
令
f ( X (k) )
x1
,
f ( X (k) )
S
cos1 cos2
当 X (k) 为函数的极小点时，有 f (X ) f (X (k) ) 0 ，故必有
[ X X (k) ]T 2 f ( X (k) )[ X X (k) ] 0
根据线性代数的二次型有关知识，上式说明函数的二阶导数矩阵必 须是正定的，这就是多元函数极小值的充分条件。故，多元函数在点 X (k) 取得极小值的充分必要条件是：函数在该点的梯度为零，海赛矩阵（二 阶导数矩阵）正定，即
求展开式的二次项
现代设计方法-优化设计-概述
约束条件（函数）
x2
g2 ( X ) = 0
X
(3)
g3 ( X ) = 0
设计点X(k)的所有起作用约束的 函数序号下标集合用Ik表示，即
X (1)
X ( 2)
g1 ( X ) = 0
g4 ( X ) = 0
I k = {a g a ( X ( k ) ) = 0， (a = 1,2, L , m)}
⎧ x1 ⎫ ⎪x ⎪ ⎪ ⎪ T X = ⎨ 2 ⎬ = {x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n } ⎪⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪ ⎩ xn ⎪ ⎭
X ∈ Rn
其中，最优设计方案用 X * 表示，称为最优点或优化点。
设计变量
x2 x3
X =[x1 x2]T
X=[ x1 x2 x3 ]T
x1 x1
x2
二维设计空间
¾ 在约束边界上的点称为边界点 ¾ 两个以上约束边界的交点称为角点
约束条件（函数）
例1：作出下列约束条件构成的可行域
⎧ g1 ( x1 , x2 ) = 9 x1 + 4 x2 ≤ 360 ⎪ g ( x , x ) = 3 x + 10 x ≤ 300 2 1 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎨ g 3 ( x1 , x2 ) = 4 x1 + 5 x2 ≤ 200 ⎪g ( x , x ) = − x ≤ 0 1 ⎪ 4 1 2 ⎪ ⎩ g 5 ( x1 , x2 ) = − x2 ≤ 0
目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征。 优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值。 目标函数总可以转化成求最小值的统一形式。
目标函数
等值曲线（面）: 目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标 函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等 超越面。 等高线 z
现代设计理论与方法 优化设计
2.1.2 优化设计的一般过程
机械设计的全过程一般可分为：
1.设计问题分析 2.建立优化设计的数学模型。 3.选择适当的优化方法。 4.编写计算机程序，计算择优。
2.1.3 优化设计的数学模型 1、建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映 工程问题。 2、数学模型的三要素 设计变量、目标函数、约束条件。
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 1）设计变量的确定
决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已 知运动规律开始运动时，曲柄所处的位臵角φ0 为设计变量。
X [ x1
x2
x3
x4
x 5 ] [ l1 l 2 l 3 l 4 0 ]
T
T
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 2）目标函数的建立
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法
1）图解法的求解的步骤
（1）确定设计空间；
（2）作出约束可行域；
（3）画出目标函数的一簇等值线； （4）最后判断确定最优点。
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法 2）图解法的求解实例
生产甲产品一件获利60元，生产乙产品一 件获利120元，受条件约束，如何安排生产可获 最大利润？ 目标函数：f（X）＝一60x1一120x2
ar) 2 l2l3
2
] 0
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 设计变量的确定
X [ x1 x2 x3 x4 x 5 ] [ l1
T
l2
l3
l4 0 ]
T
考虑到机构的杆长按比例变化时，不会改 变其运动规律，因此在计算时常取l1=1 ，而其 他杆长按比例取为l1 的倍数。
现代设计理论与方法-优化设计.ppt
变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境 中由于各种偶然因素引起的基因突变，它以很 小的概率随机地改变遗传基因（表示染色体的 符号串的某一位）的值。在染色体以二进制编 码的系统中，它随机地将染色体的某一个基因 由1变为0，或由0变为1。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
优化设计第2章 优化设计
x1 d , x2 l
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
现代设计方法优化设计
现代设计方法优化设计
现代设计方法的优化设计涉及到多个方面，以下是一些常用的优化设计方法：1. 用户研究：通过深入了解用户的需求、行为和心理，设计师可以更好地理解用户的需求和问题，从而针对性地进行优化设计。
2. 原型设计：通过制作原型，设计师可以在较短的时间内对设计进行迭代和验证，以找出最佳方案。
3. 数据驱动设计：通过收集和分析大量的用户数据，设计师可以发现用户行为和需求的模式，从而通过数据驱动来进行优化设计。
4. 用户测试：在设计的不同阶段，引入用户参与测试和反馈，可以发现设计中的问题和不足，及时进行调整和优化。
5. 敏捷设计：采取迭代式的设计方法，通过快速原型和快速反馈，不断进行调整和优化，以提高设计效果和用户满意度。
6. 跨学科合作：在设计过程中，与不同领域的专家合作，如工程师、市场营销人员等，可以综合各方专长，实现更好的设计优化。
7. 可持续设计：考虑到环境和社会的可持续性，在设计中采用可再生材料、低能耗、低污染等策略，以实现可持续发展的设计。
第二章-优化设计
优化数学模型： 设计变量：
X x1 x2
T
x3
目标函数：
min f X x1 x2 2 x1 x3 x2 x3
x2
1 1 x1 x2 10 x x1 2 约束条件：
g1 X 4 x1 0 g 2 X x2 0
设计变量X
设计常 量
设计变量:在优化设计过程中需要调整和优选的参数。
特点：
（1）实际工程设计对象的不同，则选取的设计变量也就不同。 它可以是几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸 等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯 性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。 总之，设计变量必须是对该项设计性能指标优劣有影响的参数。 （2）设计变量是一组相互独立的基本参数。它的每一个分量都 是相互独立的。
x1
二、优化设计数学模型
可以看出，优化设计的数学模型需要用设计变量、 目标函数和约束条件等基本概念进行描述，可以写成以 下统一的形式： 设计变量：
X x1 , x2 xn 目标函数：
T
f ( X ) f ( x1 , x2 , xn )
约束条件：
不等式约束条件： 等式约束条件：
综上所述，优化数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行优 化设计的基础。因此，根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模 型是关系优化设计成败的关键。数学模型的最优解是否是实际问题的最优 解，完全取决于数学模型和实际问题的符合程度。
三、优化问题的分类
一维无约束优化问题 无约束优化问题 工 程 优 化 问 题 多维无约束优化问题
2
3）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
现代设计方法第二讲优化设计概念
1
X 2 , f X 2
, f X 1 和约束最优解
（3）若加入等式约束 h X x1 x2 0在图中标出约束最优解
X 3 , f X 3
X2
g4(X) h (X)
A B C
g2(X)
o
g3(X)
X1
g1(X)
（3）数值迭代法
设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成 的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧 氏空间，称为设计空间，记Rn。 一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为设 计点。 设计变量的个数n称为优化设计的维数。 1）如n=2就是二维设计问题，可用平面直角坐标来 表示； 2）如n=3就是三维设计问题，可用直角空间坐标来 表示。
5.CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术
6.智能优化算法 7.多学科综合优化
四. 优化设计的基本概念
1.优化设计的数学模型 现用薄板制造一体积为5m3，长度不小于4m的无上 盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定 货箱的长宽高尺寸。 设：长x1,宽x2，高x3 1）目的：耗费量最少 S= x1 x2+2 x1 x3+2 x2 x3 2）条件 x1 x2 x3=5 目标函数 数学模型 设计变量
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
练习1：求下列二维优化问题的最优解
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
设计点
设计点
求设计变量 X x1 , x2
X 2 , f X 2
, f X 1 和约束最优解
（3）若加入等式约束 h X x1 x2 0在图中标出约束最优解
X 3 , f X 3
X2
g4(X) h (X)
A B C
g2(X)
o
g3(X)
X1
g1(X)
（3）数值迭代法
设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成 的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧 氏空间，称为设计空间，记Rn。 一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为设 计点。 设计变量的个数n称为优化设计的维数。 1）如n=2就是二维设计问题，可用平面直角坐标来 表示； 2）如n=3就是三维设计问题，可用直角空间坐标来 表示。
5.CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术
6.智能优化算法 7.多学科综合优化
四. 优化设计的基本概念
1.优化设计的数学模型 现用薄板制造一体积为5m3，长度不小于4m的无上 盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定 货箱的长宽高尺寸。 设：长x1,宽x2，高x3 1）目的：耗费量最少 S= x1 x2+2 x1 x3+2 x2 x3 2）条件 x1 x2 x3=5 目标函数 数学模型 设计变量
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
练习1：求下列二维优化问题的最优解
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
设计点
设计点
求设计变量 X x1 , x2
第2章优化设计1
这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。
m、p－－分别表示不等式约束和等式约束的个数。
上述优化数学模型还可以写成如下向量形式：
min f ( X ) X Rn
s.t. gu ( X ) 0 hv ( X ) 0
(u 1, 2,L , m) (v 1, 2,L , p n)
(2-3)
上式就是优化数学模型的一般表达式。这一优化数学模型，称为约束优 化设计问题。
g4 ( X ) 8 l 8 x2 0
(弯曲强度条件) (扭转强度条件) (刚度条件) (长度的边界条件)
综上所述，这是一个具有4个约束条件的二维非线性的约束优化问题。
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5m3，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。
若上式所列数学模型内 m = p = 0，则成为
min f ( X ) X Rn
(2-4)
这一优化问题不受任何约束，称为无约束优化设计问题。式（2-4）即
为无约束优化问题的数学模型表达式。
当涉及问题要求极大化 f (X)目标函数时，只要将式中目标函数 改写为－ f (X)即可。因为 min f (X ) 和 max[ f (X )] 具有相同的解。
而使体积V 最小的优化设计问题。
(2) 满足的条件：
①强度条件： 弯曲强度
4 现代设计方法--优化设计
4
ADM
目录
第三章 平面问题有限元 3.1 平面问题基本方程及有限元矩阵方程 3.1.1 基本方程 3.1.2 有限元矩阵方程 3.2 三角形场应变单元 3.2.1 离散化 3.2.2 位移模式 3.2.3 应变 3.4 刚度矩阵 3.4.1 单元刚度矩阵 3.4.2 总体刚度矩阵的组装 3.4.3 总体位移向量 3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量 3.5.1 单元的等效节点力 3.5.2 总体载荷向量
现代设计方法
——优化设计、有限元
Advanced Design Methods
——Design Optimization and Finite Element Method
江南大学 机械工程学院
1
ADM
目录
序论
第一部分 优化设计
第一章 优化设计的数学基础
1.1 矢量 1.2 矩阵 1.3 多元函数
目录
7
ADM
目录
第六章 杆件系统 第七章 薄板弯曲问题 第八章 结构动力学问题
8.1 结构动力学微分方程 8.2 结构动力学虚功方程 8.3 结构动力学有限元矩阵方程 8.4 结构自由振动有限元矩阵方程——模态分析
8
ADM
序论
现代设计方法的基本内容：
1. CAD 2. CAE——有限元分析* 3. 优化设计* 4. 可靠性设计 5. 逆向设计 6. 模块化设计 7. 设计专家系统 8. 价值工程 9. 虚拟设计 10. ……………
F(X0) 0
极值存在的充分条件：
DF
DX TF(X0 )
1 2
DX T H (X0 )DX
1 2
DX T H (X0 )DX
H(X0)正定， F(X0)为极小值；
ADM
目录
第三章 平面问题有限元 3.1 平面问题基本方程及有限元矩阵方程 3.1.1 基本方程 3.1.2 有限元矩阵方程 3.2 三角形场应变单元 3.2.1 离散化 3.2.2 位移模式 3.2.3 应变 3.4 刚度矩阵 3.4.1 单元刚度矩阵 3.4.2 总体刚度矩阵的组装 3.4.3 总体位移向量 3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量 3.5.1 单元的等效节点力 3.5.2 总体载荷向量
现代设计方法
——优化设计、有限元
Advanced Design Methods
——Design Optimization and Finite Element Method
江南大学 机械工程学院
1
ADM
目录
序论
第一部分 优化设计
第一章 优化设计的数学基础
1.1 矢量 1.2 矩阵 1.3 多元函数
目录
7
ADM
目录
第六章 杆件系统 第七章 薄板弯曲问题 第八章 结构动力学问题
8.1 结构动力学微分方程 8.2 结构动力学虚功方程 8.3 结构动力学有限元矩阵方程 8.4 结构自由振动有限元矩阵方程——模态分析
8
ADM
序论
现代设计方法的基本内容：
1. CAD 2. CAE——有限元分析* 3. 优化设计* 4. 可靠性设计 5. 逆向设计 6. 模块化设计 7. 设计专家系统 8. 价值工程 9. 虚拟设计 10. ……………
F(X0) 0
极值存在的充分条件：
DF
DX TF(X0 )
1 2
DX T H (X0 )DX
1 2
DX T H (X0 )DX
H(X0)正定， F(X0)为极小值；
优化设计 第二章(基本概念)
= ∇ f ( x ( 0 ) ) T S = ∇ f ( x ( 0 ) ) ⋅ S ⋅ cos ∇ f , S
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
现代设计方法的优化设计
现代设计方法的优化设计
现代设计方法的优化设计主要包括以下几个方面：
1. 综合利用设计软件和计算机辅助设计技术：现代设计方法借助设计软件和计算机辅助设计技术，可以快速高效地进行设计。
利用计算机模拟和仿真技术，可以对设计进行多次迭代和优化，减少试制成本，提高设计质量和效率。
2. 引入多学科综合设计方法：现代设计方法强调多学科之间的协同合作。
可以将不同学科的专家和设计团队进行集成，共同参与设计过程，利用各自的专业知识和技术，解决设计中的各种问题，达到优化设计的目的。
3. 运用优化算法进行设计：优化算法是一种数学方法，可以通过数学模型和计算方法来求解最优设计方案。
现代设计方法可以借助优化算法，对设计参数进行优化，使其达到最佳状态。
4. 质量功能展开（QFD）方法：质量功能展开是一种将顾客需求转化为技术要求的方法。
现代设计方法可以运用QFD方法，将顾客需求分解为各个技术要求，并通过对技术要求的优化设计，最终满足顾客需求。
5. 敏捷设计方法：敏捷设计方法是一种强调快速迭代和快速反馈的设计方法。
现代设计方法可以借鉴敏捷设计方法，通过快速的设计和反馈循环，不断进行设计迭代，优化设计方案。
总之，现代设计方法的优化设计主要通过综合利用设计软件和计算机辅助设计技术、引入多学科综合设计方法、运用优化算法进行设计、应用质量功能展开方法以及借鉴敏捷设计方法等手段，提高设计效率和质量，实现设计的优化。
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第二章 优化设计
2.1 概述
一、基本概念： 1．什么是机械优化设计 在设计过程中，常常需要根据产品设计的要求，合理确定各 种参数，例如：重量、成本、性能、承载能力等等，以期达到 最佳的设计目标。这就是说，一项工程设计总是要求在一定的 技术和物质条件下，取得一个技术经济指标为最佳的设计方案。 优化设计就是在这样一种思想指导下产生和发展起来的。
6
图2-1 矩形截面梁
解： 建立最优化数学模型 由抗弯强度截面系数
bh2 b(D2 b2 )
W
6
6
求最大抗弯强度截面系数
Wm ax
的问题可表述为求变量
b
使函数极大化
W b(D2 b2 ) 6
受约束于
0bD
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。 例如英国PN．辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速 的机床主轴箱，使各轴间的中心距总和比用传统设计方法所 取得的结果减小16．55％，从而体积和重量也相应的减小。 意大利G L扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、 变距器和变速箱作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛 洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由 400t．m降为232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船 用螺旋桨的叶型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形， 从而节省了大量的人力和物力，取得了满意的结果。
f ( X (k 1) )
3）梯度准则: 根据迭代点的函数梯度达到足够小
f ( X (k 1) )
f ( X (k1) ) ( f )2 ( f )2 ... ( f )2
x1
x2
xn
上式中的 是根据设计要求预先给定的迭代精度
一般为10 3 ~ 10 6 在优化设计过程中,一般只要满足以上终止准则 之一,则可以认为设计点收敛于极值点.
(2)采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件 (例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。 2．优化设计的发展及其应用 以机械设计情况为例，采用最优化技术始于六十年代，早期的机械优 化设计大多集中在机构学问题上，特别是机构运动参数的优化选择方 面，以后逐渐发展到机构动力学优化设计和机械零部件及机械产品的 优化设计。
g2
(
x)
x2 1
x2
1
0
g3 ( x) x1 0
g4 ( x) x2 0
目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：
x* (2,0)
F(x*) 0
约束方程所围成的可行域是D。
x2 g3(x)=0
g1(x)=0
g2(x)=0
2
，
D
A x*=[0.58, 1.34]T
n
设计变量
（1）连续变量：大多数机械优化问题中的设计变量都是连
续变量
（2）离散变量： 齿数、模数
②建立数学模型 → 目标函数
求极小化问题
F ( X ) min
若求 F ( X ) 的极大化，则应写成 min( f ( X ));
③约束条件：对设计变量的限制
a.不等式约束：g u ( X ) 0 或 g u ( X ) 0 u 1,2,3......m
数值迭代法总结: 1）根据基本迭代公式,每次迭代获得的新迭
代点的目标函数值都必须满足函数值不断下降
的要求(寻求最优下降方向问题)即满足适用性 要求，如果适用性和可行性兼备;再继续下一次 迭代,最终得到接近该函数的约束最优点的近 似最优点 X *
2） 最后获得的最优点,只是一个接近理论最优
点的近似最优点 X * 也就是说:每次迭代得到的
由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。
二.优化设计的数学模型
2.1数学模型的三个基本要素
①确定设计变量： X x1 x2 ...... xn T n维向量
一组待求的设计参数，
x1
x2
......
x
相互独立
1) 数值迭代法：
a.定义： 从初始设计点出发，按一定的方向通过有限步计算获得最 优解的方法称作数值迭代法。无论是无约束优化问题还是约 束优化问题,从实质上讲都是求极值的数学问题.但是优化计 算中的求优方法与数学中的微分学求极值方法是不同的。
数值迭代法示意图 （a）求无约束最优点 （b）求无约束最优点
W Wmin
②强度条件的数学描述
y F1
A
F (B2 H 2 )1/ 2
tDH
y
式中:
F1
Fl H
F(B2
H 2 )1/ 2 H
A tD
③稳定条件的数学模型
e
Fe
/
A
2 E(t 2 D 2 )
8(B 2 H 2 )
y
F (B 2 H )2 1/ 2
tDH
即： 2 E(t 2 D 2 ) F (B 2 H )2 1/ 2
式中X (k1)为第k+1步设计点。
(k ) 为迭代步长, S (k ) 为迭代方向。
当 X (k1) X * 或足够靠近 X *
时,停止迭代.得最优解 X * f ( X * )
几何意义：如图所示。 显然数值迭代的计算工作量是很大的,所以迭 代法必须借助于计算机进行运算。
数值迭代法示意图 （a）求无约束最优点 （b）求无约束最优点
求X使 min f ( X ) X R n
R n 表示n维
空间,包括了所有
约束：gu (X ) 0 (u 1,2,3......m)
设计变量,称为设 计空间。
s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3...... p; p n)
通过优化方法对数学模型求解。求设计变量
X x1 x2 ...... xn T X * 最优点
机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得 最优值。
工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”，系 指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满 意和最适宜的值。
下面举2个简单的例子来说明最优化设计的基本概念和过程。
例题2-1 已知用直径D和高h的圆木做一矩形截面梁，如图 2-1所示。如何选择矩形截面的宽b ，使其抗弯强度截面 系数 W bh2 最大？
1
-1 0
1
2
3
4
g4(x)=0 x1
min
4 x1
4
s.t. g1( x) x1 x2 2 0
g2
(
x)
x2 1
x2
1
0
g3 ( x) x1 0
g4 ( x) x2 0
f(x)=3.8
图1-1
例2：
x2
min
x1
22
x
2
2
1
s.t. x1 x2 5 0
解: ①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式 V x(6 2x) 2
x ③对x的限制(约束) *
0 x3
④求
和 Vmax x *
V ' x2 4x 3 0
x1 1 x2 3
依据约束x<3
故 x2 3 不符合题意 x* x1 1
例: 设计一人字架,已知顶端受外力 F 3 105 N , 人字架
b.数值迭代法的特点: 按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算,
寻求函数值不断下降的设计点,直到最后获得足 够精度的的近似解时就终止计算,具有这种特点 的计算方法称为数值迭代法. c.迭代计算公式: X (k 1) X (k ) (k )S (k )且有:
f ( X (k 1) ) f ( X (k ) )
（式中m为约束条件个数 ）
b.等式约束：hv (X ) 0 v 1,2,3...... p p n
等式约束条件数必须小于设计变量的维数。因为 一个等式约束可以消去一个设计变量。当p≥n时， 即可由p个方程组解得唯一的 一组设计变量这样， 只有唯一确定的方案，无优化可言
2.2 优化设计的数学模型一般形式：
f 2
f 1
O
x1
解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲 线是一条直线，这条直线就是可行域。而最优点就是可行域上 使等值线具有最小值的点。
由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几
使目标函数取得极小值 min f ( X * ) 最优值
并且满足约束条件。
2.3 数学模型的几何意义:
a.设计变量X (n=2为例)
X x1 x2 T
b.目标函数F(X )的等值线(面)
F(X ) Ci
ci 为常数 i=1,2……k
F ( X ) x12 x22 Ci i=1,2
c1 1 c2 4
跨度2B=152㎝,架为圆钢管,其弹性摸量 E 2.1105 Mpa
材料密度为 7.8103 Kg / m3 许用应力 y 420Mpa
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条件下钢管总重 量最轻的设计方案?
解: ①重量最轻的数学描述
W D t l D t(B 2 H )2 1 / 2
即 X (k 1) X (k ) 或
n
2.1 概述
一、基本概念： 1．什么是机械优化设计 在设计过程中，常常需要根据产品设计的要求，合理确定各 种参数，例如：重量、成本、性能、承载能力等等，以期达到 最佳的设计目标。这就是说，一项工程设计总是要求在一定的 技术和物质条件下，取得一个技术经济指标为最佳的设计方案。 优化设计就是在这样一种思想指导下产生和发展起来的。
6
图2-1 矩形截面梁
解： 建立最优化数学模型 由抗弯强度截面系数
bh2 b(D2 b2 )
W
6
6
求最大抗弯强度截面系数
Wm ax
的问题可表述为求变量
b
使函数极大化
W b(D2 b2 ) 6
受约束于
0bD
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
国内对机械优化设计的研究和应用是从七十年代中期开始的，近十几 年来发展十分迅速，目前已取得一定的成就，并正在向纵深方向继续 发展。目前，就国内所开展的工作来看，无论是在优化设计方法软件 研究方面，还是在机械产品优化设计的实际应用方面都取得了显著的 成果。
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。 例如英国PN．辛格采用优化设计方法设计了一种十级转速 的机床主轴箱，使各轴间的中心距总和比用传统设计方法所 取得的结果减小16．55％，从而体积和重量也相应的减小。 意大利G L扎罗蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、 变距器和变速箱作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛 洲坝二号船闸人字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由 400t．m降为232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船 用螺旋桨的叶型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形， 从而节省了大量的人力和物力，取得了满意的结果。
f ( X (k 1) )
3）梯度准则: 根据迭代点的函数梯度达到足够小
f ( X (k 1) )
f ( X (k1) ) ( f )2 ( f )2 ... ( f )2
x1
x2
xn
上式中的 是根据设计要求预先给定的迭代精度
一般为10 3 ~ 10 6 在优化设计过程中,一般只要满足以上终止准则 之一,则可以认为设计点收敛于极值点.
(2)采用适当的最优化方法求解数学模型。可归结为在给定的条件 (例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。 2．优化设计的发展及其应用 以机械设计情况为例，采用最优化技术始于六十年代，早期的机械优 化设计大多集中在机构学问题上，特别是机构运动参数的优化选择方 面，以后逐渐发展到机构动力学优化设计和机械零部件及机械产品的 优化设计。
g2
(
x)
x2 1
x2
1
0
g3 ( x) x1 0
g4 ( x) x2 0
目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：
x* (2,0)
F(x*) 0
约束方程所围成的可行域是D。
x2 g3(x)=0
g1(x)=0
g2(x)=0
2
，
D
A x*=[0.58, 1.34]T
n
设计变量
（1）连续变量：大多数机械优化问题中的设计变量都是连
续变量
（2）离散变量： 齿数、模数
②建立数学模型 → 目标函数
求极小化问题
F ( X ) min
若求 F ( X ) 的极大化，则应写成 min( f ( X ));
③约束条件：对设计变量的限制
a.不等式约束：g u ( X ) 0 或 g u ( X ) 0 u 1,2,3......m
数值迭代法总结: 1）根据基本迭代公式,每次迭代获得的新迭
代点的目标函数值都必须满足函数值不断下降
的要求(寻求最优下降方向问题)即满足适用性 要求，如果适用性和可行性兼备;再继续下一次 迭代,最终得到接近该函数的约束最优点的近 似最优点 X *
2） 最后获得的最优点,只是一个接近理论最优
点的近似最优点 X * 也就是说:每次迭代得到的
由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。
二.优化设计的数学模型
2.1数学模型的三个基本要素
①确定设计变量： X x1 x2 ...... xn T n维向量
一组待求的设计参数，
x1
x2
......
x
相互独立
1) 数值迭代法：
a.定义： 从初始设计点出发，按一定的方向通过有限步计算获得最 优解的方法称作数值迭代法。无论是无约束优化问题还是约 束优化问题,从实质上讲都是求极值的数学问题.但是优化计 算中的求优方法与数学中的微分学求极值方法是不同的。
数值迭代法示意图 （a）求无约束最优点 （b）求无约束最优点
W Wmin
②强度条件的数学描述
y F1
A
F (B2 H 2 )1/ 2
tDH
y
式中:
F1
Fl H
F(B2
H 2 )1/ 2 H
A tD
③稳定条件的数学模型
e
Fe
/
A
2 E(t 2 D 2 )
8(B 2 H 2 )
y
F (B 2 H )2 1/ 2
tDH
即： 2 E(t 2 D 2 ) F (B 2 H )2 1/ 2
式中X (k1)为第k+1步设计点。
(k ) 为迭代步长, S (k ) 为迭代方向。
当 X (k1) X * 或足够靠近 X *
时,停止迭代.得最优解 X * f ( X * )
几何意义：如图所示。 显然数值迭代的计算工作量是很大的,所以迭 代法必须借助于计算机进行运算。
数值迭代法示意图 （a）求无约束最优点 （b）求无约束最优点
求X使 min f ( X ) X R n
R n 表示n维
空间,包括了所有
约束：gu (X ) 0 (u 1,2,3......m)
设计变量,称为设 计空间。
s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3...... p; p n)
通过优化方法对数学模型求解。求设计变量
X x1 x2 ...... xn T X * 最优点
机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限 制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得 最优值。
工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”，系 指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满 意和最适宜的值。
下面举2个简单的例子来说明最优化设计的基本概念和过程。
例题2-1 已知用直径D和高h的圆木做一矩形截面梁，如图 2-1所示。如何选择矩形截面的宽b ，使其抗弯强度截面 系数 W bh2 最大？
1
-1 0
1
2
3
4
g4(x)=0 x1
min
4 x1
4
s.t. g1( x) x1 x2 2 0
g2
(
x)
x2 1
x2
1
0
g3 ( x) x1 0
g4 ( x) x2 0
f(x)=3.8
图1-1
例2：
x2
min
x1
22
x
2
2
1
s.t. x1 x2 5 0
解: ①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式 V x(6 2x) 2
x ③对x的限制(约束) *
0 x3
④求
和 Vmax x *
V ' x2 4x 3 0
x1 1 x2 3
依据约束x<3
故 x2 3 不符合题意 x* x1 1
例: 设计一人字架,已知顶端受外力 F 3 105 N , 人字架
b.数值迭代法的特点: 按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算,
寻求函数值不断下降的设计点,直到最后获得足 够精度的的近似解时就终止计算,具有这种特点 的计算方法称为数值迭代法. c.迭代计算公式: X (k 1) X (k ) (k )S (k )且有:
f ( X (k 1) ) f ( X (k ) )
（式中m为约束条件个数 ）
b.等式约束：hv (X ) 0 v 1,2,3...... p p n
等式约束条件数必须小于设计变量的维数。因为 一个等式约束可以消去一个设计变量。当p≥n时， 即可由p个方程组解得唯一的 一组设计变量这样， 只有唯一确定的方案，无优化可言
2.2 优化设计的数学模型一般形式：
f 2
f 1
O
x1
解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲 线是一条直线，这条直线就是可行域。而最优点就是可行域上 使等值线具有最小值的点。
由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几
使目标函数取得极小值 min f ( X * ) 最优值
并且满足约束条件。
2.3 数学模型的几何意义:
a.设计变量X (n=2为例)
X x1 x2 T
b.目标函数F(X )的等值线(面)
F(X ) Ci
ci 为常数 i=1,2……k
F ( X ) x12 x22 Ci i=1,2
c1 1 c2 4
跨度2B=152㎝,架为圆钢管,其弹性摸量 E 2.1105 Mpa
材料密度为 7.8103 Kg / m3 许用应力 y 420Mpa
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条件下钢管总重 量最轻的设计方案?
解: ①重量最轻的数学描述
W D t l D t(B 2 H )2 1 / 2
即 X (k 1) X (k ) 或
n