空间曲线的曲率

See P127 的推论
对于平面曲线:
r (x(t), y(t), 0)
xy yx
曲率计算公式：
( x) 2
( y)2
3/ 2
See P127（7.11）式
7
(1) 曲线由直角坐标方程给出:
则曲率公式
y"
1 ( y ')2 3/2
(2) 曲线由极坐标方程给出:
r (x, y(x),0)
令 x ( )cos , y ( )sin , ?
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
10
例4 椭圆 x 2cos t, y 3sin t上哪些点处曲率最
大和最小？
解 | y | 3
6
3
6
3
[1 ( y)2]2 (4sin2 t 9cos2 t )2 (4 5cos2 t )2
3
要使 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
1 M
1 R. 以 D 为圆心, R 为半径作圆(如图),
称此圆为曲线C在点 M 处的曲率圆.
y f (x)
x
D 曲率中心, 曲率半径.
14
由此可得曲率中心公式
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
y
D( , )
C
R
T
M (x, y)
o
x
(注意 y 与 y''异号 )
( x )2 ( y )2 R2 (M( x, y) 在曲率圆上 )
y
x y
(DM MT )
16
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 R 1 , 1 .
kR 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
t
,
a
2
)
0
r r
r 3
a a2 b2
a
a2 b2 3 a2 b2
9
例３ 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
y"
1 ( y ')2 3/2
显然, 当x
b 时, 2a
最大.
4
2 曲率的计算公式
对于空间曲线： s [a,b]
r r (s) x(s), y(s), z(s)
T (s) dr r '(s) T(s) 1 ds
T
T
lim lim
s0 s s0 s
z
G
N
M0
S M S
o r(s)
y
x s M r(s)
s s N r(s s)
lim T
22
8
20
EX2. 求双曲线
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y
解:
y
1 x2
,
y
2 x3
,
则
1
o1 x
(1 y2 )32
(1
)1
3 2
x4
R
y
2 x3
1 2
(
x
2
)1
3 2
x2
2
显然 R x1 2 为最小值 .
利用 a2 b2 2ab
21
ds ds
[x''(s)]2 [ y ''(s)]2 [z ''(s)]2
r '(s) r ''(s)
r r (t) x(t), y(t), z(t)
r(t) r(t)
r(t) 3
18
平面曲线的曲率计算公式
xy yx
(x)2 ( y)2 3/ 2
y"
1
(y
')2
3/2
z
s
曲线G在点M处的曲率 lim
s0 s
在 lim d 存在的条件下, k d .
s0 s ds
ds
3
例1 直线段AB的平均曲率为零
例2 圆上任意弧段的平均曲率等于半径的倒数
解: 如图所示 ,
s R
1
s R
N
s
R M
s R
注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.
对于曲线 y ax2 bx c,
有 f () 2 a b c, 2 42
f () a b, 2
f
( ) 2
2a.
由题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,
于是有
2 a b c 1, 42 a b 0,
2a 1.
a
1, 2
b
, 2
c
1
2 8
.
y 1 x2 x 1 2 .
3. 曲率圆,曲率半径和曲率中心
o
Q
R 1
P
x
G : r r(s)
y
19
EX1．确定a, b, c 的值，使抛物线 y ax2 bx c与正弦曲线
y sin x在点( ,1)相切，并有相同的曲率.
解
对于曲线
y
2
f ( x) sin x,
有 f () 1, f ( ) 0
2
2
f () 1. 2
s [a,b]
r "(s) [x ''(s)]2 [ y ''(s)]2 [z ''(s)]2
See P127.定理7.1
6
对于用一般参数方程表示的空间曲线：
r r (t) x(t), y(t), z(t) t [ , ] r (t) 0
r(t) r(t)
曲率计算公式： r(t) 3
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度 越大,转角越大
转角相同弧段越短 弯曲程度越大
曲线的弯曲程度与弧段切线的转角大小成正比， 与弧长成反比.
2
有连续变动的切线
设曲线G是光滑的，
M0 是基点. MN s ,
M N 切线转角为 . M0
G
N
S M S
定义
弧段MN的平均曲率为 .
(r '(s),r '(s s))
s0 s
T lim
2 sin lim
2
1
s0 0
T(s s)
T
ຫໍສະໝຸດ Baidu
lim
d dT r ''(s) o
T(s)
s0 s
ds ds
5
曲率
小结
刻画曲线的弯曲程度
曲线弯曲的角度随弧长的变化率
切线转过 的角度
lim
s0 s
基本结论： r r (s) x(s), y(s), z(s)
t , 3 22
此时
最大， max
3
3 4
要使 最小， 必有 (4 5cos2 t)2 最大，
t 0,
此时 最小
min
2 9
11
3. 曲率圆与曲率半径
定义 设曲线C: y f ( x) 在点 y
M( x, y, z) 处的曲率为 ( 0).
D
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点 D, 使 DM o
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
4. 在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
17
小结
1.曲率的定义 d
ds
2 曲率的计算公式
r r (s) x(s), y(s), z(s)
d dT r ''(s)
第7节 空间曲线的曲率
(Curvature of Curve in Space)
1.曲率的定义 2.曲率的计算
3.曲率圆与曲率半径 (circle of curvature and radius of curvature )
2013年5月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第7节 空间曲线的曲率 1 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量.
8
例7.4 求螺旋线 r a cost, asin t,bt 的曲率
解 r {a sin t,a cos t,b} r {acos t,asin t,0}
r(t) r(t)
r(t) 3
i
r
r
a
sin
t
a cos t
j a cos t a sin t
k
b
(ab
sin
t
,
ab
cos