小学四年级奥数竞赛班讲义 第15讲：整数与数列(二)
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12＋22＋32＋…＋n2＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n ＝1＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋n＋n＋…＋n
【例5】(★★★) 已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 求：152＋162＋172＋…＋212
＝(2n＋1)×(1＋2＋3＋…＋n)÷3 ＝(2n＋1)×n×(n＋1)÷2÷3 ＝n(n＋1)(2n＋1)÷6
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【例6】(★★★★) 计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002
【大海点睛】
一、本讲知识 等差数列 通项公式：末项＝首项＋(项数－1)×公差 项数公式：项数＝(末项－首项 末项 首项)÷公差＋1 求和公式：和＝(首项＋末项)×项数÷2 拓展 拓展：一个等差数列若有奇数项， 个等差数列若有奇数项， 则这个数列的和＝中间项×项数 常见结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2 1＋2＋3＋…＋n＋…3＋2＋1＝ n2 常见公式 平方差公式：a2－b2＝(a－b)×(a＋b) 平方和公式：12＋22＋32＋…＋n2 ＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 二、本讲经典例题 整数与数列(一)：例2，例3，例6 整数与数列(二)：例1，例3，例4，例6
【例1】(★★★) (22＋42＋62＋…＋1002)－(12＋32＋52＋…＋992)
整数与一个尽量大的实心方阵，结果还多出5棵树苗； 后来又运来18棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的 方阵最外层每边有________棵树。 棵树
【例3】⑴(★★★) 利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列 各题，让我们来试试 吧。 ⑴98×102 ⑵29×31
【例4】(★★★★) 计算： 20132－2012×2014
平方和公式：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 【例3】⑵(★★★★) 计算：11×19＋12×18＋13×17＋14×16 12＋22＋32＋…＋n2＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n ＝1＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋n＋n＋…＋n