关于画法几何中换面法的初步探讨

关于画法几何中换面法的初步探讨摘要：换面法是画法几何中最重要的概念之一，也是很重要的解题工具。解决一些画法几何问题采用换面法非常简便。本文对换面法做了简单介绍并，且就学习中常见的换面法问题做了一些初步剖析。

关键词：换面法、夹角、实形、交线。

一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

换面法的核心理论就是把空间几何问题转化为平面几何问题，特别是解决复杂的空间几何问题作用尤为突出。换面法的新投影面选择必须符合两个基本条件：新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置和新投影面必须垂直于一个不变的投影面。只有把握这两个核心来剖析问题才能解决问题。

1、换面法求空间一般位置平面的实形

一般教材都使用换面法空间一般位置平面的实形, 如图 1 所示, 求正五棱柱被正垂面P v 切割后的截面的实形1121314151第一步作直线X , 平行于正垂面在主投影面上的投影线P v ; 第二步分别过1′2′3′4′5′作直线x1的垂直线并延长, 在延长线上画出俯视图投影点12 3 4 5 到主视图底边的各自等高线得到11 21 31 41 51 , 即可。

用换面法进行解题不仅需要研究几何元素之间的相对关系和这些元素与投影面之间的相对位置, 更重要的是研究如何选择新投影面以及几何元素在新投影面体系及原投影体系中投影之间的关系, 建立解题的空间几何模型, 拟定解题方法和步骤, 这都需要对空间几何关系以及这些关系在投影中的反映有更深人的分析和理解, 而分析和理解能力的提高建立在学习大量例题和完成大量作业的基础上, 所以需要大量的课时来完成。

2、求一般位置平面对投影面的夹角

方法: 将一般位置平面变换成投影面的垂直面, 如图 2 。

作图方式分二步: ( 1) 在平面内作投影面平行线, 如求a 换V 面作水平线; 求β, 换H 面作正平线; 求γ在>体系中换V 面, 作侧平线, 图为求β, 换H 面作正平线A D 。(2 ) 使新的投影轴X1 , 轴垂直于a’b′, 再将各点变换, 得到新的投影积聚为一直线b1 a1 c1, 则此直线与X1轴的夹角即为平面与V 面的倾角β。

3、求一般位置平面的实形

方法: 二次换面, 将一般位置平面变换成投影面的平行面( 如图2 ) 。作图分三步: ( 1 ) 、( 2) 步同上; ( 3) 设立新投影轴X Z 轴平行于积聚性投影b1 a1 c1 , , 变换各点投影, 得到新投影b2′a2′c2′即为△A B C的实形。

4 、求一般位置直线和平面的交点及两一般位置平面的交线

求直线与平面的交点, 只要直线或者平面是投影面的垂直线或者垂直面, 就可以在图中直接或者利用辅助直线法直接作出交点; 求两平面的交线, 只要有某一平面是投影面的垂直面, 也可以直接求出交线, 但是求一般位置直线和平面的交点以及两一般位置平

面的交线, 由于两几何要素均为一般位置, 不能直接作图, 但是, 学生最容易想到的是如果把直线或平面变换成特殊位置, 问题就可以解决了, 所以自然而然地想到用换面法将直线或平面交换成投影面的垂直线或者投影面的垂直面, 即利用换面法求出交点或交线。虽然, 用这种方法求交点和交线比用辅助平面求交点和交线作图工作量要大, 但是此方法直观, 容易想到和易于掌握, 不妨介绍此种方法解决交点、交线问题, 由于作图方法与上述基本雷同, 故不再举例说明。

结语：通过对上述问题求解方法的分析，反映了图解空间几何问题思路的多样性及灵活性。对于画法几何之中的问题多做研究可以增强我们对空间图形的理解，锻炼我们的空间

想象力，使得在今后的专业学习中打好基础。因此在平时学习中应该多思考练习，这样才能真正学好土木专业课程。

参考文献:《换面法的应用》