高一数学函数的零点和最值问题

学科教师辅导讲义

1，如果函数()f x 在区间[],a b 单调增，则该函数的最大值()f b ，最小值为()f a 2，如果函数

()f x 在区间[],a b 单调减，则该函数的最小值()f b ，最大值为()f a

3，二次函数2

y ax bx c =++，当二次项系数>0

时，函数有最小值

2

44ac b a

-，无最大值；当二次项系数<0

时，函数有最大值2

44ac b a

-，无最小值；

4，对于耐克函数()1

,0,y x x x

=+∈+∞，该函数有最小值2，最大值，对于一般情况可以类似讨论

例5，设小明每天有6个小时用来复习四门功课，用在一门功课上的时间x （小时）与该门课的考试成绩有如下函数

关系

()50

,160110,16x s x t t ≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩

假设语、数两门功课一起用4小时复习，那么如何安排时间，才能使这两门功课考的分之和最大。

二次函数最值

例6. 函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数

是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是

，

顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为

，最小值为

。

图1

例7. 已知，求函数的最值。

解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2

解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m，n]上的最大值或最小值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

（2）当时

若，由在上是增函数

则的最小值是，最大值是

若，由在上是减函数

则的最大值是，最小值是

二. 动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例8. 已知，且，求函数的最值。

解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：

二次函数的对称轴方程是

顶点坐标为，图象开口向上

由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。

函数的最小值是，最大值是。

图3

例9.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。

解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。

若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5

即

解得

故

图4

若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5

即

解得

故

图5

综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，

解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

三. 定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例9. 如果函数定义在区间上，求的最小值。

解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值

。

图6

如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值

。

图7

如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值

综上讨论，

图8