第三章 支路电流法 节点电压法复习过程

下面我们再来研究电路中的回路，对图3.1的电 路，它的回路是很多的，因为只要若干支路组成的 闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这条闭合路径 称为回路。那是不是我们必须把所有的回路中电压 方程都列出来，才能求出电路中所要求的参量呢？ 下面我们就来研究这个问题。对应于图中标出的三 个回路，应用KVL，可以列出回路电压方程如下：
节点电压法
二、结点方程
下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。
对电路的三个独立结点列出KCL方程：
i1 i4 i5 iS1
i2 i5 i6 0
i3 i4 i6 iS2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
i1 i4 i5 iS1 i2 i5 i6 0
i3 i4 i6 iS2
-I5-I4+I1=0
-I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 <=>
-I1+I2+I3 =0
观察以上四个表达式，可看出其中的任 一个方程都可由其它三个方程得出。说 明这四个方程中只有三个方程是独立的。 对于更多节点的电路，情况也一样。一 般来讲，具有n个节点的电路，只能列出 （n-1）个独立的KCL方程。
解得各节点电压为：
u11V u2 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
i1 (1S)u1 1A i2 (2S)u2 6A i3 (1S)(u1 u2) 4A
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
(2S2S1S)u1(2S)u2(1S)u36A1A 8 (2S)u1(2S3S6S)u2(6S)u31A 81A 2 (1S)u1(6S)u2(1S6S3S)u32A 56A
例1. 用节点电压法求图2-28电路中各电阻支路电流。
解：用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压u1和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：
(1S (1 S)1uS1) u1(1 S(1S2)uS2)u25A 10 A
图2－28
整理得到：
2u1 u2 5V u1 3u2 10V
6 12 2
3A
I3
U2 3
12 3
4A
The end,thank you!
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！压作为未知量，根据KCL，列出对应于独立节 点的节点电流方程，然后联立求出各节点电压，再求出其 它各支路电压或电流的方法称为节点电压法。
如图所示电路各支路电压可表示为: u10=un1 u12=un1-un2 u23=un2-un3 u20=un2 u30=un3
第三章 支路电流法 节点电压法
• 第一节 支路电流法
前一章介绍了电阻的串联和并联；电阻的星、三角连接 的等效变换两种实际电源模型的等效变换。这几种方法都 是利用等效变换，逐步化简电路进行分析计算的方法。这 些方法适用于具有一定结构形式而且比较简单的电路。如 要对较复杂的电路进行全面的一般性的探讨，还需寻求一 些系统化的方法——即不改变电路结构，先选择电路变量 （电流或电压），再根据KCL、KVL建立起电路变量的方 程，从而求解变量的方法。支路电流法就是系统化方法中 的最基本的一种。
如果从外面绕一大圈， 有 i1 + 3i3 + 5i5 = 10 而 （1）+（2）-（3）有
I1 + 3i3 + 5i5 = 10 如： 3i3 + 5i5 - 4i4 - 2i2 = 0 而 （2）-（3）等于此式
➢对于独立回路应如何选择，原则上也是任 意的。一般，在每选一个回路时，只要使 这回路中至少具有一条新支路在其它已选 定的回路中未曾出现过，那末这个回路就 一定是独立的。通常，平面电路中的一个 网孔就是一个独立回路，网孔数就是独立 回路数，所以可选取所有的网孔列出一组 独立的KVL方程。
整理得到:
5u1 2u2 u3 12V 2u1 11u2 6u3 6V u1 6u2 10u3 19V
解得结点电压
u1 1V
u
2
2V
u 3 3 V
求得另外三个支路电压为：
u4 u3 u1 4V u5 u1 u2 3V u6 u3 u2 1V
例 3 试用节点电压法求图3.23所示电路中的 各支路电流。
那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图 3.1所示，电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电 路中各条支路的电流是未知的被求量，那么以支路电流为 未知数列出的KCL方程和KVL方程数正好等于支路数，而 这些方程又都是关于支路电流的方程，所以联立求解就可 求出各支路电流。
对我们研究的例题，有6条支路，4个节点，所以可列出4-1=3个独立的 节点电流方程；列出6-（4-1）=3个独立的回路电压方程，而这两组方程的 数目正好等于电路的支路数。
支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量，以基 尔霍夫一、二定理即KCL、KVL 为依据，列方程求解电路 的一种分析方法。
为了便于讨论, 先来复习几个名词。 （1）支路: 电路中流过同一电流的一个分支称为一 条支路。 （2）节点: 三条或三条以上支路的联接点称为节点。 (3) 回路: 由若干支路组成的闭合路径,其中每个节点 只经过一次, 这条闭合路径称为回路。 (4) 网孔: 网孔是回路的一种。将电路画在平面上, 在回路内部不另含有支路的回路称为网孔。
i1 i2 i3
i4 i6
i5
通过上面分析, 我们可总结出支路电流法分 析计算电路的一般步骤如下:
（1） 在电路图中选定各支路（b个）电流
的参考方向, 设出各支路电流。
（2） 对独立节点列出(n-1)个KCL方程。
（3） 取网孔列写KVL方程, 设定各网孔绕行
方向, 列出b-(n-1)个KVL方程。
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路，其节点 方程的一般形式为：
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 1．选定参考结点。标出各节点电压，其参考方向总是独 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 3．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 流和支路电压。 5.根据题目要求,计算功率和其他量等.
下面我们以图 3.1所示的电路为例来说明支路电 流法的应用。支路电流法以每个支路的电流为求解 的未知量。如图 3.1 所示的电路，从图中可看到电 路共有六条支路，a、b、c、d四个节点。不论电路 如何连接，在电路的每一个节点基尔霍夫电流定律 和电路的每一个回路中基尔霍夫电压定律总是成立 的。
对于含有六条支路的电路，我们来寻找一种系统的解题
解 取节点O为参考节点, 节点 1、2的节点电压
为U1、U2, 按式（3.24）得
(1 1
1 2
)U1
1 2
U
2
3
1 2 U1
(1 2
1 3)U 2
7
解之得
U 16 V ,U 21V 2
取各支路电流的参考方向, 如图所示。 根据支路电流与 节点电压的关系, 有
I1
U1 1
6 1
6A
I2
U1 U2 2
路电压方程：
10I1 + 5 I3= 30+10
15I2 -5 I3=35-30 (3)联立求解各支路电流得：
a
I2
I3 Us2
Us3 b
I1 = 3A I2 = 1A I3 = 2A
I1、I2、I3 均为正值, 表明它的实际 方向与所选参考方向相同, 三个电压源 全部是从正极输出电流，所以全部输出 功率。 Us1输出的功率为
负值。此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例
中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
方法。首先我们假设每条支路的参考电流方向如图中箭头
所示，并分别用i1～i6来表示，然后分别对节点a、b、c、d
列写KCL方程如下：
a: -I1+I2+I3 =0 b: -
i1 i2 i3
I2+I4+I6=0 c: -I3-I6+I5=0 d: -I5-I4+I1=0
i6
i4
i5
-I1+I2+I3-I2+I4+I6-I3-I6+I5=0 <=>
代入KCL方程中，经过整理后得到：
写成一般形式为
其中G11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全 部电导的总和。 此例中G11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= G3+ G4+ G6。
G i j ( ij )称为节点 i 和 j 的互电导,是节点i 和j 间电导总和的
回路L1： i1 +2i2 +4i4 =10
- i1 + L1
i2 i3
L2
i6
i4 L3 i5
回路L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8
回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =-8
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从 另外两个方程中推出，所以都是独立的回路方 程。
如果再用其它回路列方程，我们可以验证 他们都不是独立方程。
Ps1=10×3=30W Us2输出的功率为
Ps2=35×1=35W Us3 输出的功率为
Ps3=30×2=60W 各电阻吸收的功率为 P =I×I×R =10×3×3+5×2×2+15×1×1=125w
功率平衡, 表明计算正确。
第二节 节点电压法
• 一、节点电压法
在具有n个节点的电路(模型)中，可以选其中一个节点作 为参考点，其余(n-1)个节点的电位，称为节点电压。
可以证明，具有n个节点、b条支路的电路具有b-(n-1)个 独立的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回 路。
• 所以我们可以得出：具有n个节点、b条支路的电 路,独立的KCL方程：（n-1）个，独立的KVL方程： b-(n-1)个。
综上所述，对于具有n个节点、b条支路的电路， 根据KCL能列出（n-1）个独立方程，根据KVL能列 出b-(n-1)个独立方程，两种独立方程的数目之和正 好与所选待求变量的数目相同，联立求解即可得到b 条支路的电流。
（4） 联立求解上述b个独立方程, 便得出待 求的各支路电流。
例 1、求图示电路中各支路电流和各元件的功率。
解 以支路电流I1、I2、I3为变量, 应用KCL、KVL列出等式
(1)对于两节点a、b ,可列出一
个独立的节点电流方程。
I1
a: -I1 + I3 + I2 = 0
Us1 (2) 列写网孔独立回