近代分形与分维
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物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。 以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解 剖学研究表明，人体中的大脑、神经系统、血管、呼 吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。 图1.4是人体小肠的结构，由图可以看到，当以不同 的放大倍数观察小肠结构时，即从a到e较大的形态与 较小的形态之间的相似表明小肠结构具有自相似性。
图1.4 人体小肠的自相似结构
一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝 与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现 该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构 成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性， 不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与 树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树 叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。
近代分形与分维
§3.3 大自然的几何学 ----分形与分维
自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的， 而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中， 它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个 例子。
在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一 种复杂现象，非线性关系更是常见。
分形具有广阔的应用前景, 在分形发展的过程中，许多传统 的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。分形作为一种 新的概念和方法正在许多领域应用探索。美国著名物理学家惠 勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。正 因为分形饱含哲理，概念新颖，且应用前景宽广，才能引起人 们的浓厚兴趣。
（二）自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从 不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某 系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外， 在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相 似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式， 而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中， 它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。
（一）什么是分形（fractal）
“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物 理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其 原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个
由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性 并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海 岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分 形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分 形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的 自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形,
图1.1 布达拉宫中藏族 壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画 中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模 分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复 杂对象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状 态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。 描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然 的几何。
下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解，但不 够精确，也不够数学化。
定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体
相似的形状叫分形。
定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合，
它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）, 无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性 仍然是明显的。
人们在观Biblioteka Baidu和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存 在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及 社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次 上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界 普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现 这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个 系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统 之间存在着自相似的性质。
在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时， 在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。分形理论使 人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离 的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后 的规律、局部和整体之间的本质联系。
目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议论文集 和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及分形理论和应
名词是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英文 中frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山西 五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就有了“日
月光明，分形变化”的语句。
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密 切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述 客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、 射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界 的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和 结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而 且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树 木、森林、云团、闪电、海浪等等，例如图1.1、图 1.2和图1.3所示。用欧几里德几何学是无能为力的。
用的论文。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表 的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看， 所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电 子技术、表面科学、计算机科学、生物学、
医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、 地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美 学、思维、音乐、艺术等。
客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上 是非线性的”。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原 论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这 种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科 学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人
们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。 因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。
图1.4 人体小肠的自相似结构
一棵大树由许多树枝和树叶组成，若把一根树枝 与该棵大树相比，在构成形式上完全相似。又会发现 该树枝上分叉长出来的更小的细枝条，仍具有大树构 成的特点。当然，这只能是在一定尺度上呈现相似性， 不会无限扩展下去。另外，树枝与树枝之间，树叶与 树叶之间，也呈现出明显的自相似性。再仔细观察树 叶的叶脉，也可以发现类似的自相似结构。
近代分形与分维
§3.3 大自然的几何学 ----分形与分维
自然界大部分不是有序的、平衡的、稳定的和确定性的， 而是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中， 它存在着无数的非线性过程，如流体中的湍流就是其中一个 例子。
在生命科学和社会科学中，生命现象和社会现象都是一 种复杂现象，非线性关系更是常见。
分形具有广阔的应用前景, 在分形发展的过程中，许多传统 的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。分形作为一种 新的概念和方法正在许多领域应用探索。美国著名物理学家惠 勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能称为科学的文化人。正 因为分形饱含哲理，概念新颖，且应用前景宽广，才能引起人 们的浓厚兴趣。
（二）自相似性
分形具有“粗糙和自相似”的直观特点。
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从 不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某 系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外， 在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相 似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式， 而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形是一门新的学科，它的历史很短，目前正处在发展之中， 它涉及面广但还不够成熟，然而分形理论具有强大的生命力。
（一）什么是分形（fractal）
“分形”这个名词是由美国IBM公司研究中心物 理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B.Mondelbrot）在1975年首次提出（创造）的，其 原义是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个
由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性 并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海 岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分 形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分 形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的 自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形,
图1.1 布达拉宫中藏族 壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画 中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模 分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复 杂对象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状 态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。 描述分形的几何，称为分形几何，又称为描述大自然 的几何。
下面给出“分形”的两个定义，在物理上易于理解，但不 够精确，也不够数学化。
定义1（Mandelbrot,1986）,部分以某种形式与整体
相似的形状叫分形。
定义2（Edgar,1990），分形集合是这样一种集合，
它比传统几何学研究的所有集合还更加不规则（irregular）, 无论是放大还是缩小，甚至进一步缩小，这种集合的不规则性 仍然是明显的。
人们在观Biblioteka Baidu和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存 在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及 社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次 上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界 普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现 这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个 系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统 之间存在着自相似的性质。
在非线性世界里，随机性和复杂性是其主要特征，但同时， 在这些极其复杂的现象背后，存在着某种规律性。分形理论使 人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离 的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后 的规律、局部和整体之间的本质联系。
目前国内外定期召开有关分形的学术会议，出版会议论文集 和关于分形的专著，在重要期刊上经常发表涉及分形理论和应
名词是参照了拉丁文fractus(弄碎的)后造出来的。它含有英文 中frature(分裂)fraction（分数）的双重意义。而我国在山西 五台山南山寺的影壁墙上的碑文中，早在清朝时代就有了“日
月光明，分形变化”的语句。
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密 切相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述 客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、 射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界 的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和 结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而 且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树 木、森林、云团、闪电、海浪等等，例如图1.1、图 1.2和图1.3所示。用欧几里德几何学是无能为力的。
用的论文。世界上1257种学术刊物在80年代后期发表 的论文中,与分形有关的占据37.5%。从发表论文来看， 所涉及的领域包括哲学、物理、化学、材料化学、电 子技术、表面科学、计算机科学、生物学、
医学、农学、天文学、气象学、地质学、地理学、城市规划学、 地震学、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美 学、思维、音乐、艺术等。
客观世界是复杂的，所以科学家们认为“世界在本质上 是非线性的”。但以往人们对复杂事物的认识总是通过还原 论方法把它加以简化，即把非线性问题简化为线性问题。这 种认识方法虽然在科学研究中发挥过巨大作用，但是随着科 学技术和社会的发展，已经暴露出它的局限性，从而要求人
们直接研究复杂事物，以便更准确、更充分地反映其本来面目。 因此，一门研究复杂现象的非线性科学应运而生。