高等数学 第7章
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a (a1)i (a2 ) j (a3)k
由向量的数乘运算可知,向量 a {a1 ,a2 ,a3} 与向量 b {b1 ,b2 ,b3} 平行的充要条件是
a1 a2 a3 当分母为零时,分子也是零
b1 b2 b2
例3 设 a 3i j 4k, b i 4 j 2k, 求 a b,a b, 3a,a b 。
同样, c0 1 (i j 3k) 也是垂直a和b的单位向
量。
11
第三节 平面方程
一、平面方程
设在空间直角坐标系中给定一个平面,在
平面内取定一点 M 0 (x0 ,y0 ,z0 ) ,并以
n {A,B ,C} 表示与平面垂直的任意非零向
量,称为平面的法向量。设 M (x ,y ,z)为平面
三个坐标轴两两决定的三个平面xOy,yOz,zOx,称为坐 标平面。三个坐标平面将空间分成八个部分,称为八个卦限。
设M是空间的任意一点,如图所示。从 点M作xOy平面的垂线与xOy平面交于点M ′, M ′称为点M在xOy面上的投影。设M ′在平面 直角坐标系xOy中的坐标为(x, y),再过点M 作z轴的垂直平面与z轴相交,设此交点在Oz 轴上的坐标为z,这样,点M唯一确定了三 个有序实数(x, y, z)。
对于任一向量a,把a的始点置于原点, 设此时a的终点为 M (a1 ,a2 ,a3 ) ,即
→
a OM
根据向量加法
→→→
OM OM M M
因为 → → → → →
OM OM1 OM 2 ,M M OM3
所以
→→→→
OM OM1 OM 2 OM3
再由数乘向量的定义,知
→→ →
OM1 a1i ,OM 2 a2 j ,OM3 a3k 于是有
反之,任给三个有序实数(x, y, z),先以(x, y)为坐标在xOy平面上确定一点M ′,再过M ′ 作xOy平面的垂直线段M ′M,其长度为|z|, 当z>0时,M在xOy平面的上方;当z<0时,M 在xOy平面的下方;当z=0时,M即为M ′。这 样,三个有序实数(x, y, z)唯一确定了空间的 一个点M。(x, y, z)称为点M的空间直角坐标。
→
a OM OM1 2 OM 2 2 OM 3 2
于是 →
a OM a12 a22 a32(7-1) 即向量的模等于其坐标平方和的算术 平方根。
例1 设 a 2i 2 j k ,求 a 。 解 a 22 (2)2 12 9 3
下面讨论如何用坐标表示向量的方 向。设向量a与x轴、y轴、z轴正向的夹
解 a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 2i 3 j 2k a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 4i 5 j 6k 3a 9i 3 j 12k a b 22 (3)2 (2)2 17
与平面上两点间的距离公式类似,同样可得空间中 两点间的距离公式。
可见,在空间直角坐标系中,
空间中的点与三个有序实数是一
一对应的。显然,坐标原点的坐 标为(0, 0, 0),x轴上点的坐标为(x, 0, 0),yOz平面上的点为(0, y, z)。 对于一般的点,如(2, 3, -1),可如 图确定其位置。
二、向量的坐标
在空间直角坐标系中,以原点为始点, 而终点分别为点(1, 0, 0), (0, 1 0), (0, 0, 1)的 三个单位向量,相应地记作 i ,j ,k ,称为该 坐标系的基本单位向量。
→
OM a1i a2 j a3k
可以看出上式中三个系数 (a1 ,a2 ,a3 ) 正好是点M的坐标,点M的坐标叫做向 量a的坐标,记作 a {a1 ,a2 ,a3} 。
向量a的坐标表示式有两种写法:
a a1i a2 j a3k {a1 ,a2 ,a3}
三、向量的模与方向余弦
任给一个向量 a {a1 ,a2 ,a3} ,从 图中可以看出其长度为
→ 已知两点 M1(x1 ,y1 ,z1) 和 M 2 (x2 ,y2 ,z2 ) ,M1和M2
间的距离 M1M 2 就是向量 M1M 2 的模,所以
M1M 2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 ( z2 z1)2
例4 设点 A(1,1,0) ,B(5,1,4) 求 AB 。
解 AB (5 1)2 (11)2 (4 0)2 6
解 a的模为
a 12 22 (3)2 14
所以
cos 1 , cos 2 , cos 3
14
14
14
a0
1
,2
,3
14 14 14
四、向量的代数运算
设 a a1i a2 j a3k, b b1i b2 j b3k 则
a b (a1 b1)i (a2 b2 ) j (a3 b3)k
→
上任意一点,那么法向量n与向量M0M 垂直,
则
→
n M0M =0
即 于是有
→
n M0M =0 {A,B ,C}{x x0 ,y y0 ,z z0} 0
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
(7-8)
由于n是非零向量,可知A,B,C不全为零.方程 (7-8)称为平面的点法式方程.方程(7-8)又可写 成
第七章 向量代数与空间解析几何
本章内容
第一节 空间直角坐标系与向量 第二节 向量的数量积与向量积
第三节 平面方程 第四节 空间直线方程 第五节 曲面与空间曲线
空间解析几何是平面解析几何的自然推广,它是学习多元 函数微积分的基础。本章首先建立空间直角坐标系,并引进在 工程技术上用途很广的向量概念,然后以向量为工具,讨论空 间中的平面与直线,介绍空间中一些常见的曲面和曲线的方程 及其图形。
第一节 空间直角坐标系与向量
一、空间直角坐标系
将平面直角坐标系所在的平面置于空间中, 并过点O作一垂直于此平面的数轴Oz,这样 Ox,Oy,Oz就构成一空间直角坐标系,如图 所示.点O仍称为坐标原点,Ox,Oy,Oz分别 称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖 轴),统称为坐标轴。它们的指向符合右手 法则,即用右手握住z轴,四指由x轴正向转到 y轴正向时,大拇指的指向规定为z轴的正向。
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0) (7-9)
其中,D Ax0 By0 Cz0 ,可以看出,方程是 一个三元一次方程,反过来,任意一个三元一次方程 (7-9)都表示一个平面,方程(7-9)称为平面的一 般方程。
例1 已知一个平面过点 {1,1, 2} 且与向量 2i j 3k 垂直,求此平面方程。
解 由平面的点法式方程,得 2(x 1) 1( y 1) 3(z 2) 0
即所求平面方程为 2x y 3z 3 0
例2 已知一个平面过点 M1(0 ,1,2),M 2 (1,1,3) M3(1,0 ,1) ,求此平面方程。
→→
→→
→ → 解 作向量 M1M 2 ,M1M3 ,由于平面的法向量n与 M1M 2 ,M1M3
a b a b cos a ,b
(7-3)
由数量积的定义可以推得 (1) a a a 2 (2) 两个非零向量a和b互相垂直的充要条件是
ab 0
两个向量的数量积满足下列运算规律:
交换律
ab ba
分配律
(a b) c a c b c
与数乘结合律 (a b) (a) b a (b)
两个向量的向量积的坐标表示式 设 a a1i a2 j a3k ,b b1i b2 j b3k ,则
a b (a2b3 a3b2 )i (a1b3 a3b1) j (a1b2 a2b1)k
i jk
a b a1 b1
a2 b2
a3 b3
a2 b2
a3 i a1 b3 b1
第二节 向量的数量积与向量积
一、向量的数量积
在物理中,我们已经知道,若力F作用在物体上, 使其产生位移s,则该力所做的功为
W F s cos F ,s 即F所做的功是两个向量F和s的模相乘再乘以它们 夹角的余弦,这种运算在其他问题中也会遇到,因此, 我们引入向量的一种结构性运算。
定义1 两个向量a和b的模及它们之间夹角的余弦的乘积, 叫做向量a和b的数量积(或点积),记作 a b ,即
cos a ,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
(7-5)
ab
a12 a22 a32 b12 b22 b32
这是用坐标计算两向量夹角的公式。
从这个公式可以看出,向量 a ,b 垂直的充要条件是
a1b1 a2b2 a3b3 0
(7-6)
例1 设 a i j 2k,b 3i 2 j k ,求 a b 。
解 由向量积的定义,a b 是垂直a和b的向量,而
所以
i jk a b 1 2 1 i j 3k
453
a b 12 12 (3)2 11
例4 求垂直于向量a {1,2,1},b {4 ,5,3}的单位向量。
于是同时垂直a和b的单位向量为
c0 a b 1 (i j 3k) a b 11
由图可知,向量 a a1i a2 j a3k 的 其方向余弦为
cos a1 , cos a2 , cos a3
a
a
a (7-2)
由此得 cos2 cos2 cos2 1 因此,向量 a0 {cos ,cos ,cos }
是与a同方向的单位向量.
例2 设向量 a {1,2 , 3} ,求a的方向余弦及 a0 。
S ab
由向量积的定义可推得:
(1)
aa 0
(2)两个非零向量a和b平行的充要条件是
ab 0
两个向量的向量积满足下列运算规律:
反交换律
a b b a
分配律
(a b)c ac bc
与数乘结合律 (a b) (a) b a (b)
根据数量积的定义,基本单位向量满足下列关系:
ii j j kk 0 i j k ,j k i ,k i j
根据数量积的定义,基本单位向量满足下列关系: ii j j kk 1 i j jk ki 0
设 a a1i a2 j a3k,b b1i b2 j b3k ,则
a b a1b1 a2b2 a3b3
(7-4)
即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。
由于 a b a b cos a ,b ,当a ,b 为非零向量时,有
解 a b 1 (3) 1 2 (2) 1 3
例2 已知三点 A (2 ,1,2),B (1,1,1),C (2 ,2 ,1) ,求
→→
BC ,BA
的夹角。
解 因为 → BC {2 1,2 1,11} {1,1,0}
→
BA {2 1,11,2 1} {1,0 ,1}
所以 于是
→→ → → cos BC BA 111 0 01 1
12 12 02 12 02 12 2 BC BA
π
3
二、向量的向量积
定义2 两个向量a和b的向量积是一个向量,记作 a b ,它 的模和方向分别定义为
(1) a b a b sin a ,b (2)a b 垂直于a和b,且 a ,b ,a b 符合右手法则,如图 所示。
由图可知,模 a b 的几何意义是以 a ,b为两邻 边的平行四边形的面积S,即
都垂直,所以可以取 M1M 2 M1M3 作为平面的法向量。
→
→
M1M 2 {1,0 ,1},M1M3 {1,1,1}
→ → ijk
角称为向量a的方向角,分别记为 , , 显然 0剟 , , π ,如图所示。当三
个方向角确定后,向量的方向也就确 定了。
向量a的方向角 , , 的余弦 cos ,cos ,cos 称为a的方向余弦。 由于 0剟 , , π ,则方向余弦确定
时,方向角也被唯一确定,所以可以 用方向余弦来表示向量的方向。
a3 j a1
b3
b1
a2 k(7-7) b2
例3 已知 a {1,1,1},b {2 ,1,1},求 a b 。
解
i jk
1 1 1 1 1 1
a b 1 1 1
i
2 1 1
2i j 3k
例4 求垂直于向量a {1,2,1},b {4 ,5,3}的单位向量。
由向量的数乘运算可知,向量 a {a1 ,a2 ,a3} 与向量 b {b1 ,b2 ,b3} 平行的充要条件是
a1 a2 a3 当分母为零时,分子也是零
b1 b2 b2
例3 设 a 3i j 4k, b i 4 j 2k, 求 a b,a b, 3a,a b 。
同样, c0 1 (i j 3k) 也是垂直a和b的单位向
量。
11
第三节 平面方程
一、平面方程
设在空间直角坐标系中给定一个平面,在
平面内取定一点 M 0 (x0 ,y0 ,z0 ) ,并以
n {A,B ,C} 表示与平面垂直的任意非零向
量,称为平面的法向量。设 M (x ,y ,z)为平面
三个坐标轴两两决定的三个平面xOy,yOz,zOx,称为坐 标平面。三个坐标平面将空间分成八个部分,称为八个卦限。
设M是空间的任意一点,如图所示。从 点M作xOy平面的垂线与xOy平面交于点M ′, M ′称为点M在xOy面上的投影。设M ′在平面 直角坐标系xOy中的坐标为(x, y),再过点M 作z轴的垂直平面与z轴相交,设此交点在Oz 轴上的坐标为z,这样,点M唯一确定了三 个有序实数(x, y, z)。
对于任一向量a,把a的始点置于原点, 设此时a的终点为 M (a1 ,a2 ,a3 ) ,即
→
a OM
根据向量加法
→→→
OM OM M M
因为 → → → → →
OM OM1 OM 2 ,M M OM3
所以
→→→→
OM OM1 OM 2 OM3
再由数乘向量的定义,知
→→ →
OM1 a1i ,OM 2 a2 j ,OM3 a3k 于是有
反之,任给三个有序实数(x, y, z),先以(x, y)为坐标在xOy平面上确定一点M ′,再过M ′ 作xOy平面的垂直线段M ′M,其长度为|z|, 当z>0时,M在xOy平面的上方;当z<0时,M 在xOy平面的下方;当z=0时,M即为M ′。这 样,三个有序实数(x, y, z)唯一确定了空间的 一个点M。(x, y, z)称为点M的空间直角坐标。
→
a OM OM1 2 OM 2 2 OM 3 2
于是 →
a OM a12 a22 a32(7-1) 即向量的模等于其坐标平方和的算术 平方根。
例1 设 a 2i 2 j k ,求 a 。 解 a 22 (2)2 12 9 3
下面讨论如何用坐标表示向量的方 向。设向量a与x轴、y轴、z轴正向的夹
解 a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 2i 3 j 2k a b (3 1)i (1 4) j (4 2)k 4i 5 j 6k 3a 9i 3 j 12k a b 22 (3)2 (2)2 17
与平面上两点间的距离公式类似,同样可得空间中 两点间的距离公式。
可见,在空间直角坐标系中,
空间中的点与三个有序实数是一
一对应的。显然,坐标原点的坐 标为(0, 0, 0),x轴上点的坐标为(x, 0, 0),yOz平面上的点为(0, y, z)。 对于一般的点,如(2, 3, -1),可如 图确定其位置。
二、向量的坐标
在空间直角坐标系中,以原点为始点, 而终点分别为点(1, 0, 0), (0, 1 0), (0, 0, 1)的 三个单位向量,相应地记作 i ,j ,k ,称为该 坐标系的基本单位向量。
→
OM a1i a2 j a3k
可以看出上式中三个系数 (a1 ,a2 ,a3 ) 正好是点M的坐标,点M的坐标叫做向 量a的坐标,记作 a {a1 ,a2 ,a3} 。
向量a的坐标表示式有两种写法:
a a1i a2 j a3k {a1 ,a2 ,a3}
三、向量的模与方向余弦
任给一个向量 a {a1 ,a2 ,a3} ,从 图中可以看出其长度为
→ 已知两点 M1(x1 ,y1 ,z1) 和 M 2 (x2 ,y2 ,z2 ) ,M1和M2
间的距离 M1M 2 就是向量 M1M 2 的模,所以
M1M 2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 ( z2 z1)2
例4 设点 A(1,1,0) ,B(5,1,4) 求 AB 。
解 AB (5 1)2 (11)2 (4 0)2 6
解 a的模为
a 12 22 (3)2 14
所以
cos 1 , cos 2 , cos 3
14
14
14
a0
1
,2
,3
14 14 14
四、向量的代数运算
设 a a1i a2 j a3k, b b1i b2 j b3k 则
a b (a1 b1)i (a2 b2 ) j (a3 b3)k
→
上任意一点,那么法向量n与向量M0M 垂直,
则
→
n M0M =0
即 于是有
→
n M0M =0 {A,B ,C}{x x0 ,y y0 ,z z0} 0
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
(7-8)
由于n是非零向量,可知A,B,C不全为零.方程 (7-8)称为平面的点法式方程.方程(7-8)又可写 成
第七章 向量代数与空间解析几何
本章内容
第一节 空间直角坐标系与向量 第二节 向量的数量积与向量积
第三节 平面方程 第四节 空间直线方程 第五节 曲面与空间曲线
空间解析几何是平面解析几何的自然推广,它是学习多元 函数微积分的基础。本章首先建立空间直角坐标系,并引进在 工程技术上用途很广的向量概念,然后以向量为工具,讨论空 间中的平面与直线,介绍空间中一些常见的曲面和曲线的方程 及其图形。
第一节 空间直角坐标系与向量
一、空间直角坐标系
将平面直角坐标系所在的平面置于空间中, 并过点O作一垂直于此平面的数轴Oz,这样 Ox,Oy,Oz就构成一空间直角坐标系,如图 所示.点O仍称为坐标原点,Ox,Oy,Oz分别 称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖 轴),统称为坐标轴。它们的指向符合右手 法则,即用右手握住z轴,四指由x轴正向转到 y轴正向时,大拇指的指向规定为z轴的正向。
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0) (7-9)
其中,D Ax0 By0 Cz0 ,可以看出,方程是 一个三元一次方程,反过来,任意一个三元一次方程 (7-9)都表示一个平面,方程(7-9)称为平面的一 般方程。
例1 已知一个平面过点 {1,1, 2} 且与向量 2i j 3k 垂直,求此平面方程。
解 由平面的点法式方程,得 2(x 1) 1( y 1) 3(z 2) 0
即所求平面方程为 2x y 3z 3 0
例2 已知一个平面过点 M1(0 ,1,2),M 2 (1,1,3) M3(1,0 ,1) ,求此平面方程。
→→
→→
→ → 解 作向量 M1M 2 ,M1M3 ,由于平面的法向量n与 M1M 2 ,M1M3
a b a b cos a ,b
(7-3)
由数量积的定义可以推得 (1) a a a 2 (2) 两个非零向量a和b互相垂直的充要条件是
ab 0
两个向量的数量积满足下列运算规律:
交换律
ab ba
分配律
(a b) c a c b c
与数乘结合律 (a b) (a) b a (b)
两个向量的向量积的坐标表示式 设 a a1i a2 j a3k ,b b1i b2 j b3k ,则
a b (a2b3 a3b2 )i (a1b3 a3b1) j (a1b2 a2b1)k
i jk
a b a1 b1
a2 b2
a3 b3
a2 b2
a3 i a1 b3 b1
第二节 向量的数量积与向量积
一、向量的数量积
在物理中,我们已经知道,若力F作用在物体上, 使其产生位移s,则该力所做的功为
W F s cos F ,s 即F所做的功是两个向量F和s的模相乘再乘以它们 夹角的余弦,这种运算在其他问题中也会遇到,因此, 我们引入向量的一种结构性运算。
定义1 两个向量a和b的模及它们之间夹角的余弦的乘积, 叫做向量a和b的数量积(或点积),记作 a b ,即
cos a ,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
(7-5)
ab
a12 a22 a32 b12 b22 b32
这是用坐标计算两向量夹角的公式。
从这个公式可以看出,向量 a ,b 垂直的充要条件是
a1b1 a2b2 a3b3 0
(7-6)
例1 设 a i j 2k,b 3i 2 j k ,求 a b 。
解 由向量积的定义,a b 是垂直a和b的向量,而
所以
i jk a b 1 2 1 i j 3k
453
a b 12 12 (3)2 11
例4 求垂直于向量a {1,2,1},b {4 ,5,3}的单位向量。
于是同时垂直a和b的单位向量为
c0 a b 1 (i j 3k) a b 11
由图可知,向量 a a1i a2 j a3k 的 其方向余弦为
cos a1 , cos a2 , cos a3
a
a
a (7-2)
由此得 cos2 cos2 cos2 1 因此,向量 a0 {cos ,cos ,cos }
是与a同方向的单位向量.
例2 设向量 a {1,2 , 3} ,求a的方向余弦及 a0 。
S ab
由向量积的定义可推得:
(1)
aa 0
(2)两个非零向量a和b平行的充要条件是
ab 0
两个向量的向量积满足下列运算规律:
反交换律
a b b a
分配律
(a b)c ac bc
与数乘结合律 (a b) (a) b a (b)
根据数量积的定义,基本单位向量满足下列关系:
ii j j kk 0 i j k ,j k i ,k i j
根据数量积的定义,基本单位向量满足下列关系: ii j j kk 1 i j jk ki 0
设 a a1i a2 j a3k,b b1i b2 j b3k ,则
a b a1b1 a2b2 a3b3
(7-4)
即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。
由于 a b a b cos a ,b ,当a ,b 为非零向量时,有
解 a b 1 (3) 1 2 (2) 1 3
例2 已知三点 A (2 ,1,2),B (1,1,1),C (2 ,2 ,1) ,求
→→
BC ,BA
的夹角。
解 因为 → BC {2 1,2 1,11} {1,1,0}
→
BA {2 1,11,2 1} {1,0 ,1}
所以 于是
→→ → → cos BC BA 111 0 01 1
12 12 02 12 02 12 2 BC BA
π
3
二、向量的向量积
定义2 两个向量a和b的向量积是一个向量,记作 a b ,它 的模和方向分别定义为
(1) a b a b sin a ,b (2)a b 垂直于a和b,且 a ,b ,a b 符合右手法则,如图 所示。
由图可知,模 a b 的几何意义是以 a ,b为两邻 边的平行四边形的面积S,即
都垂直,所以可以取 M1M 2 M1M3 作为平面的法向量。
→
→
M1M 2 {1,0 ,1},M1M3 {1,1,1}
→ → ijk
角称为向量a的方向角,分别记为 , , 显然 0剟 , , π ,如图所示。当三
个方向角确定后,向量的方向也就确 定了。
向量a的方向角 , , 的余弦 cos ,cos ,cos 称为a的方向余弦。 由于 0剟 , , π ,则方向余弦确定
时,方向角也被唯一确定,所以可以 用方向余弦来表示向量的方向。
a3 j a1
b3
b1
a2 k(7-7) b2
例3 已知 a {1,1,1},b {2 ,1,1},求 a b 。
解
i jk
1 1 1 1 1 1
a b 1 1 1
i
2 1 1
2i j 3k
例4 求垂直于向量a {1,2,1},b {4 ,5,3}的单位向量。