等比数列常考题型归纳总结很全面

等比数列及其前n 项和

教学目标：

1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式

表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a

n

n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是

等比数列的关键） 2．通项公式：

等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项：

如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q

q a q na S n n

5．等比数列项的性质

（1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2

。

（2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。

（其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法

（1）证：

q a a n

n =+1（常数）；（2）证：112

·+-=n n n

a a a （2≥n ）. 考点分析

考点一：等比数列基本量计算 例1、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项

为5

4

，求5

S 。

例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列{}n b 中的543,,b b b 。

（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 和为n S 。

练习：1、设{}n a 是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。已知142=a a ,37S =,则5S =

A ．

215 B ．431 C ． 433 D ．217

2、在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.

3、已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )

A.3312 B ．31 C.31

4

D ．以上都不正确 4、设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．

5、（4）、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且639S S =，则数列

1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前5项和为（ ）。 A ．

158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158

考点二：等比数列性质应用

例2、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

练习：1、在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

例3、等比数列{}n a 满足：1161=+a a ，9

32

43=a a ，且公比()1,0∈q （1）数列{}n a 的通项公式；

（2）若该数列的前n 项和21=n S ，求n 的值。

练习：1、已知正项等比数列{}n a 满足2

5932a a a =，22=a ，则=1a 。

2、已知等比数列{}n a 满足2

5932a a a =，22=a ，则=1a 。

3、已知等比数列{}n a 满足18,251==a a ，则=432a a a ___________。

4、在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. 例4、等比数列{}n a 满足0>n a ，n ∈N *，且473=•a a ，则当1≥n 时，=++++92322212log ...log log log a a a a .

例5、等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31

32，则公比q ＝________.

练习：1、已知正项等比数列{}n a 满足5321=a a a ，10987=a a a ，则=654a a a _______。 2、在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 例6、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________. 练习：1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若

336=S S ，则6

9S S

＝________. 考点三：等比数列的证明