胡运权运筹学第七章习题解

某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下，

解：

设阶段变量：k=1,2,3

状态变量：k x 第k 个月初的库存量 决策变量：k d 第k 个月的生产量 状态转移方程：1

k k k k

x x r d

阶段指标：(,)k k k k v x d c d

由于在4月末，仓库存量为0，所以对于k=4阶段来说有两种决策：

5+4=9 40x

4()f x =

1 41x

对K=3 334()54()f x x f x

K=2

K=1时 d 5

解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。

某公司有资金4万元，可向A ，B ，C 三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。

表 7-20

解：

设阶段变量k ，{

}4,3,2,1∈k ，每一个项目表示一个阶段; 状态变量S k ，表示可用于第k 阶段及其以后阶段的投资金额； 决策变量Ｕk ，表示在第k 阶段状态为S k 下决定投资的投资额； 决策允许集合：0≤Ｕk ≤S k 状态转移方程：S k+1=S k -Ｕk ; 阶段指标函数：V k (S k Ｕk )；

最优指标函数：f k (S k )=max{ V k (S k Ｕk )+ f k+1(S k+1)} 终端条件：f 4(x 4)=0； K=4, f 4(x 4)=0 k=3, 0≤Ｕ3≤S 3

k=2, 0≤Ｕ2≤S 2

k=1, 0≤Ｕ1≤S 1

所以根据以上计算，可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（1，2，1）.

为了保证某设备正常运行,须对串联工作的三种不同零件A 1,A 2,A 3,分别确定备件数量。若增加备用零件数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加，而总投资额为8千元。已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视，求

解：设第k 阶段的状态为S k ；第k 阶段决定投入的备件为X k ;C k (X k )为第k 阶段选择k 个零件的费用；R k (X k )为第k 个阶段选择k 个零件的可靠性。

状态转移方程为：S k+1=S k - C k (X k ) 递退方程：

11443

1()max{()()}()1()(1)k k K k k k K k K i i k f s R x f s f s

C x S C =+=+⎧

⎪=⎪⎪

=⎨⎪⎪≤-⎪⎩

∑

所以有上可知当A 1；A 2；A 3；分别为k=1;k=2;k=3时S 1=8; S 2=5,6,7;

S 3=1,2,3,4;

由上表可知，最优解的可靠性为；此时X

1=1；X

2

=1；X

3

=3。

某工厂接受一项特殊产品订货，要在三个月后提供某种产品1000kg，一次交货。由于该产品用途特殊，该厂原无存货，交货后也不留库存。已知生产费用与月产量关系为：C=1000+3d+2，其中d为月产量（kg），C为该月费用（元）。每月库存成本为2元/kg，库存量按月初与月末存储量的平均数计算，问如何决定3个月的产量是总费用最小。

解：用动态规划法求解

阶段k：每一个月为一个阶段k=1,2,3

状态变量s

k

：第k个月初的库存量

决策变量d

k

：第k个月的生产量

状态转移方程：s

1+

k = s

k

+d

k

最优指标函数：f

k ( s

k

)：第k个月状态为s

k

时到第3

个月末的总费用最小

则第k个月的库存费用为：E

k = （s

k

+s

1+

k

）/2⨯2= s

k

+s

1+

k =2 s

k

+d

k

s

1=0，d

1

+d

2

+d

3

=1000当k=3时

f

3(s

3

)=min{E

3

+C

3

}

=min{2s

3+d

3

+1000+ 3d

3

+2

3

}

= min{3000+ 2d

3+2

3

}

= 3000+2(1000- s

3)+(1000- s

3

)2

当k=2时

f

2(s

2

)=min{E

2

+C

2

+ f

3

(s

3

)}

=min{2s

2

+d

2

+1000+3d

2

+2

2

+3000+2(1000-

s

3)+(1000- s

3

)2}

=min{2s

2

+1000+4d

2

+2

2

+3000+2(1000-s

2

-d

2

)+

(1000- s

2

-d

2

)2}

=min{6000+2d

2

+2

2

+(1000- s

2

-d

2

)2}

只有当d*

2

=1000- s

2

时f

2

(s

2

)取最小值6000+2

（1000- s

2）+（1000- s

2

）2

f

1(s

1

)=min{E

1

+C

1

+ f

2

(s

2

)}

=min{2 s

1

+ d

1

+1000+3 d

1

+2

1

+6000+2（1000-

s

2）+（1000- s

2

）2}

=min{9000+4 d

1

+2

1

+（1000- d

1

）2}

=min{14000-6d

1+2

1 }

只有当d*

1=300时f

1

(s

1

)取最小值13100元

此时s

2= d

1

+ s

1

=300