胡运权运筹学第七章习题解

某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。

已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下，
解：
设阶段变量：k=1,2,3
状态变量：k x 第k 个月初的库存量 决策变量：k d 第k 个月的生产量 状态转移方程：1
k k k k
x x r d
阶段指标：(,)k k k k v x d c d
由于在4月末，仓库存量为0，所以对于k=4阶段来说有两种决策：
5+4=9 40x
4()f x =
1 41x
对K=3 334()54()f x x f x
K=2
K=1时 d 5
解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。

某公司有资金4万元，可向A ，B ，C 三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。

表 7-20
解：
设阶段变量k ，{
}4,3,2,1∈k ，每一个项目表示一个阶段; 状态变量S k ，表示可用于第k 阶段及其以后阶段的投资金额； 决策变量Ｕk ，表示在第k 阶段状态为S k 下决定投资的投资额； 决策允许集合：0≤Ｕk ≤S k 状态转移方程：S k+1=S k -Ｕk ; 阶段指标函数：V k (S k Ｕk )；
最优指标函数：f k (S k )=max{ V k (S k Ｕk )+ f k+1(S k+1)} 终端条件：f 4(x 4)=0； K=4, f 4(x 4)=0 k=3, 0≤Ｕ3≤S 3
k=2, 0≤Ｕ2≤S 2
k=1, 0≤Ｕ1≤S 1
所以根据以上计算，可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（1，2，1）.
为了保证某设备正常运行,须对串联工作的三种不同零件A 1,A 2,A 3,分别确定备件数量。

若增加备用零件数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加，而总投资额为8千元。

已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视，求
解：设第k 阶段的状态为S k ；第k 阶段决定投入的备件为X k ;C k (X k )为第k 阶段选择k 个零件的费用；R k (X k )为第k 个阶段选择k 个零件的可靠性。

状态转移方程为：S k+1=S k - C k (X k ) 递退方程：
11443
1()max{()()}()1()(1)k k K k k k K k K i i k f s R x f s f s
C x S C =+=+⎧
⎪=⎪⎪
=⎨⎪⎪≤-⎪⎩
∑
所以有上可知当A 1；A 2；A 3；分别为k=1;k=2;k=3时S 1=8; S 2=5,6,7;
S 3=1,2,3,4;
由上表可知，最优解的可靠性为；此时X
1=1；X
2
=1；X
3
=3。

某工厂接受一项特殊产品订货，要在三个月后提供某种产品1000kg，一次交货。

由于该产品用途特殊，该厂原无存货，交货后也不留库存。

已知生产费用与月产量关系为：C=1000+3d+2，其中d为月产量（kg），C为该月费用（元）。

每月库存成本为2元/kg，库存量按月初与月末存储量的平均数计算，问如何决定3个月的产量是总费用最小。

解：用动态规划法求解
阶段k：每一个月为一个阶段k=1,2,3
状态变量s
k
：第k个月初的库存量
决策变量d
k
：第k个月的生产量
状态转移方程：s
1+
k = s
k
+d
k
最优指标函数：f
k ( s
k
)：第k个月状态为s
k
时到第3
个月末的总费用最小
则第k个月的库存费用为：E
k = （s
k
+s
1+
k
）/2⨯2= s
k
+s
1+
k =2 s
k
+d
k
s
1=0，d
1
+d
2
+d
3
=1000当k=3时
f
3(s
3
)=min{E
3
+C
3
}
=min{2s
3+d
3
+1000+ 3d
3
+2
3
}
= min{3000+ 2d
3+2
3
}
= 3000+2(1000- s
3)+(1000- s
3
)2
当k=2时
f
2(s
2
)=min{E
2
+C
2
+ f
3
(s
3
)}
=min{2s
2
+d
2
+1000+3d
2
+2
2
+3000+2(1000-
s
3)+(1000- s
3
)2}
=min{2s
2
+1000+4d
2
+2
2
+3000+2(1000-s
2
-d
2
)+
(1000- s
2
-d
2
)2}
=min{6000+2d
2
+2
2
+(1000- s
2
-d
2
)2}
只有当d*
2
=1000- s
2
时f
2
(s
2
)取最小值6000+2
（1000- s
2）+（1000- s
2
）2
f
1(s
1
)=min{E
1
+C
1
+ f
2
(s
2
)}
=min{2 s
1
+ d
1
+1000+3 d
1
+2
1
+6000+2（1000-
s
2）+（1000- s
2
）2}
=min{9000+4 d
1
+2
1
+（1000- d
1
）2}
=min{14000-6d
1+2
1 }
只有当d*
1=300时f
1
(s
1
)取最小值13100元
此时s
2= d
1
+ s
1
=300
那么d *2=1000- s 2=700，f 2(s 2)=9850元 d *3=1000-d 1-d 2=0，f 3(s 3)=3000元
即：三个月的产量分别为300、700、0时，总费用最小。

7-11.某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如表。

现将此三种产品运往市场出
解：设:k X ：第K 种产品的数目；
k V ：第K 种产品的利润；
k S ：第K 种产品之初的总重量；1k k k k S S X W +=-; k f (k S )：第K~3种产品的总价值； k f （k S ）=max{k X k V +`1k f +(1k S +)}
且4f (4S )=0
K=3：333013344()max {()}x f S V X f S ≤≤=+3013max {80}x X ≤≤=
K=2：222022233()max {()}x f S V X f S ≤≤=+2022332max {130(3)}x X f S X ≤≤=+-
K=1：111031122()max
{()}x f S V X f S ≤≤=+1031211max {80(2)}x X f S X ≤≤=+-
答:故最大利润为260，产品数目为“0，2，0”或“1，0，1”。

某公司需要对某产品决定未来4个月内每个月的最佳存储量，以使总费用最小。

已知各月对该产品的需求量和单位订货费用、存储费用如表7-23所示。

假定每月初订货于月末到货并入库，下月开始销售。

解：
阶段k：月份 k=1，2，3，4，5
状态变量X k：第k个月初的存量
决策变量r：第k个月的订货量
状态转移方程：X k+1=X k+r k-d k
决策允许集合：r k（X k）=｛r k︱r k≥0 d k+1≤X k+1｝ =｛r k︱d k+1≤X k+r k-d k｝
阶段指标：C k r k +P k X k
f5（X5）=0 X5=0
f k（X k）=min｛V k(X k, r k)+f k+1(X k+1)｝
=min｛C k r k+ P k X k+ f k+1(X k+r k-d k)｝
对于k=4 X5=0 r4=0 X4=d4
f4（X4）=min｛V4(X4, r4)+f5(X5)｝
=min｛30 X4｝
=900
对于k=3
F3（X3）=min｛V3(X3, r3)+f4(X4)｝
=min｛C3r3+ P3X3+ f4(X4)｝
=min｛40r3+ 40X3+ 900｝
=min{775r3+40x3+900}
d4=x4则 d4=x3+r3-d3 r3+d3+d4-x3=70-x3
f3(x3)=min{775(70-x3)+40x3+900}
=min{63250-735x3}
当k=2时
f2（x2）=min｛C2r2+ P2x2+ f3(x3)｝
=min{850r2+20x2+63250-735(x2+r2-d2)}
=min{850r2+20x2+63250-735x2-735r2+33075}
=min{96325-715x2+115r2}
R2(x2)={r2 r2≥0 d3≤x2+r3-d2 }
={r2 r2≥0 d3+d2 -x2≤r3 }
={r2 r2≥0 85-x2≤r3 }
f2（x2）=min｛96325-715x2+115 x2+9775｝
=min{106100-830x2}
当k=1时
f1（x1）=min｛850r1+30x1+106100-830(x1+r1-50)｝ =min{147600-800x1+20r1}
r1（x1）=｛r1︱r1≥0 d2+d1﹣x1≤r1｝
=｛r1︱r1≥0 95﹣x1≤r1｝
f1（x1）=min｛147600-800 x1+20（95﹣X1）｝
=min｛149500-820 x1｝
根据题意x1=0 r1*=95﹣x1
f 1（x 1）=149500 r 1*=95 r 1*=95x 2 =x 1+r 1-d 1 =45 f 2（x 2）= 68750
r 2*=85﹣45=40
x 3 =x 2+r 2-d 2=45+40-45=40 f 3（x 3）=33850 x 4 = d 4=30 f 4（x 4）=900
某罐头制造公司在近5周内需要一次性地购买一批原料，估计未来5周内价格有波动，其浮动价格及概率如表7-24所示，试求各周的采购策略，使采购这批原料价格的数学期望值最小。

表7-24
解：
设阶段变量k ，{
}5,4,3,2,1∈k ,每一周表示一个阶段; 状态变量S k ，表示第k 阶段的实际价格；
决策变量Ｕk ，当Ｕk =1，表示第k 周决定采购；当Ｕk =0，表示第k 周决定等待。

S kE 表示第k 周决定等待，而在以后采用最优决策时采购价格的期望值；
f k (S k )表示第k 周实际价格为S k 时，从第k 周至第五周采用最优决策所得的最小期望值。

因而可写出逆序递推关系式为
f k (S k )=min{ S k , S kE } S k ∈{9,8,7} (1)
由S kE 和f k (S k )的定义可知
S kE =E f k+1 (S k+1)=+1 (9)+ f k+1 (8)+ f k+1(7), (2) k=5
因为如果在第五周原材料尚未购买，则不管实际价格如何，都必须采取采购策略。

f 5(S 5)= S 5 , 即f 5(7) =7，f 5(8)=8， f 5(9)=9 k=4
S 4E =0.4f 5 (9)+0.3 f 5 (8)+ 0.3 f 5(7)=
f 4(S 4)=min{ S 4, S 4E }=min{ S 4, }=⎪⎩⎪
⎨⎧===7,78,89,1.84
44s s s
所以在第四周如果价格为9，则等待下周购买，如果价格为8或7，则选择采购 k=3
S 3E =0.4f 4 (9)+0.3 f 4(8)+ 0.3 f 4(7)=
f 3(S 3)=min{ S 3, S 3E }=min{ S 3, }=⎪⎩⎪
⎨⎧===7,78,74.79,74.73
33s s s
所以在第三周如果价格为9或8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买 k=2
S 2E =0.4f 3(9)+0.3 f 3(8)+ 0.3 f 3(7)=
f 2(S 2)=min{ S 2, S 2E }=min{ S 2, }=⎪⎩⎪
⎨⎧===7,78,518.79,518.72
22s s s
所以在第二周如果价格为9或8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买 k=1
S 1E =0.4f 2(9)+0.3 f 2(8)+ 0.3 f 2(7)=
f 1(S 1)=min{ S 1, S 1E }=min{ S 1, }=⎪⎩⎪
⎨⎧===7,78,3626.79,3626.71
11s s s
所以在第一周如果价格为9或8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买
某企业有1000万元资金可在三年内每年初对项目A 、B 投资，若每年初投资项目A ，则年末以的概率回收本利2000万元或以的概率丧失全部资金；若投资项目B ，则年末以的概率回收本利2000万元或以的概率回收1000万元。

假定每年只能投资一次,每次1000万元（有多余资金也不使用），试给出三年末期望总资金最大的投资策略。

K 表示第K 年的投资方案过程，状态K S 表示每年可投资的资金，K X 表示第K 年的投资决策
K X =⎩⎨⎧B
A 投资项目投资项目10
阶段指标K V =*(1－K X )（2000+k f －1000）+K X *2000+*1000+k f －10000) 基本方程
{
}⎩⎨
⎧==+=-3,2,1,0,00
1k f f V MAX f k K k k f 即每年年末期望最大总资金
期望最大总资金的投资策略为Ａ－Ａ－Ｂ
某汽车公司的一个型号汽车，每辆年均利润函数r(t)与年均维修费用函数u(t) 如上表中所示 ，购买同型号新汽车每辆20万元，如果汽车公司将汽车卖出，其价格如下表所示，
解：设备更新问题
回收额的总期数为4
t 为某个阶段的设备役龄；
r(t)为从役龄为t 的设备得到的年均利润； u(t)为役龄为t 的设备的年均维修费用； s(t)是役龄为t 的设备的处理价格； 新设备的购置价格p=20万元； 四年盈利最大的更新计划。

状态变量选为设备的役龄t
决策只有两种可能，即保留或更新，记为K （保留）或P （更新）。

状态转移方程
阶段效应
⎩⎨
⎧=-+-=-=P
u P t s K u t t u t r k k k k )0()0()()
()(),(μγμγ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-+-++-=++)1()0()0()(:)1()()(:max )(11k k k
f P t s P t f t t K t f μγμγ⎩⎨
⎧=-=-+-=-=P u t s P t s K u t t u t r k k k k 2)()0()0()()
()(),(μγμγ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2)(:)()(:max )(3t s P t t K t f μγ0)(4=t f
该企业汽车年初为役龄为0的新汽车。

更新方案如图
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧+-++-=5.152)(:)1()()(:max )(32t s P t f t t K t f μγ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+-++-=5.292)(:)1()()(:max )(21
t s P t f t t K t f μγ。