第7章 超静定结构的内力分析

第七章超静定结构

§7.1 超静定结构特性

●由于多余约束的存在产生的影响

1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。

2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。

3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。

4. 结构刚度和稳定性都有所提高。

●各杆刚度改变对内力的影响

1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。

2. 计算内力时，允许采用相对刚度。

3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。

4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。

●温度和沉陷等变形因素的影响

1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生自内力。

2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。不应盲目增大结构截面尺寸，以期提高结构抵抗能力。

3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。

§7.2 力法原理

●计算超静定结构的最基本方法

超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不能或不能全部根据静力平衡条件确定。力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超静定次数）。根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。这里，基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。

●基本结构的选择（解题技巧）

1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。

2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。

3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。

4. 对称取基本结构；或利用对称性取半结构；或求弹性中心；以减少未知力数目，并使力法方程解耦。

●力法典型方程

典型方程可写成矩阵形式：

δX+ Δ = C (4.2.1) 式中，δ为柔度系数矩阵（对称方阵）；X为多余未知力列阵；Δ为自由项列阵（外因作用下的广义位移列阵）；C为原结构多余联系处的已知位移（不一定为零）列阵。

●力法的解题步骤

1. 确定基本未知量，合理选取基本结构。

2. 根据多余联系处的位移（变形）协调条件，建立力法方程。

3. 计算力法方程中的柔度系数和自由项。

绘制基本结构的i M 图、M P 图（或写出弯矩方程），并图乘（或积分）。其它外因下的自由项由位移公式求得。对于桁架结构，只考虑相应的轴力图。对于超静定拱，求方程系数、自由项时图乘法不再适用，位移系数计算时往往要考虑轴力或曲率的影响。

4. 解力法方程（线性代数方程组），求出多余未知力。

5. 绘制超静定结构的内力图。

对于受弯结构，一般先绘M 图，再按M 、Q 、N 的顺序依次作图。可利用已有的i M 图、

P M 图，根据叠加公式∑+=P i i M X M M 绘制；也可将已求的多余力和荷载加在基本结

构上，按静定结构方法计算绘制最后内力图。桁架结构按叠加公式∑+=

P i i

N X N

N 标

注轴力图。

6. 内力计算校核（包括平衡条件校核和变形条件校核）。

例1 图4.2.1a 所示连续梁为28a 号工字钢，I=7114cm 4

，E=210 GPa ，l =10 m ，P=50 kN 。若欲使梁内最大正、负弯矩的绝对值相等，问应将中间支座升高或降低多少？

解：选取如图4.2.1b 所示基本体系，依题意有2/4/M Pl M -=，得6/Pl M =，作M 图（图4.2.1c ）。

求中间支座B 处位移，取如图4.2.1d 所示的基本结构，作1M 图。图乘得

)

(0232.0)10711410210144/(10501444421362128633

↓=⨯⨯⨯⨯⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=∆-m EI

Pl l l Pl l Pl l EI By

●

形），在反对称荷载作用下只产生反对称分布的内力（变形）。利用对称性可选取半结构计算，根据内力和变形特点，在对称轴处加上相应的支座约束，可求得原结构的解，并减少计算量。对称结构受任意荷载作用时，也可将荷载分解成对称和反对称两组，分别利用对称性计算后，叠加所得结果即可得到原问题的解答。

例2 计算图4.2.2a 所示刚架，绘出弯矩图，并求出C 点的竖向位移。E=常数。 解：该结构内部12次超静定（数框格），而且对称，支座本不对称，但结构外部静定，易求得支座反力H A =0。因此，对称结构在对称力作用下（对称轴为CD 线，图4.2.2b ），取半结构计算（图4.2.2c ）。与原结构相比，A 点可以上下位移，但C 点约束，其相对位移是一致的。若将A 处的4P 力分组为作用在A 和A ’点的对称与反对称力，对称时仅AA ’杆受轴向压力2P,反对称时再取半结构计算（图 4.2.2d ）。同样处理，还可以再取半结构（图4.2.2e ）。此时，原结构的1/8结构已降为一次超静定，选基本体系（图4.2.2f ），作1M 图和P M 图（图4.2.2g 、h ），图乘得

4

22124

72223222213

13

11Pa

a a Pa EI a a a a a a a EI P -

=⨯⨯⨯-=∆=

⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=δ

则 P a

Pa X P

76

72443311

11=⨯=∆-

=δ

由部分M 图按对称或反对称情况复制成原结构M 图（图4.2.2b ）。

求原结构C 点竖直向下位移，就是求C 点相对于A 点的竖直向下位移，或者说是A 点相对于C 点的竖直向上位移。因此既可以在原结构的C 点处，也可以在原结构的某一基本结构（图4.2.2f ）的A 点上加单位力作M 图（图4.2.2i ）与相应的部分M 图（图4.2.2j ）图