关于二重积分定义的注记

x
j i， y (i, j 1, 2, , n 1) (n ) n n
把积分域分为许多正方形（此种分割方法符合 3：x y
xydxdy 。
D
1 / n 0 ，符合 4： n 等分） ，并选取被积函数在这些正
方形之右顶点 (i / n, j / n) 作为 ( i , i ) ，则
11 1 2 1 1 (6) xy dx xdx x 2 0 2 2 4 4 0 0 2.3 在直角坐标系下，用平行于 x 轴、 y 轴的直线网 对 D 进行分割，对 D 在 x 轴、 y 轴上投影的分割的长度最

1
1
0
大值分别记为 x 、 y ，令 x 0 ， y 0
0，所以用 x 0 ， y 0 来替代 ( T ) 0 是可行的。 2.4 在直角坐标系下，用平行于 x 轴、 y 轴的直线网 对 D 在 x 轴、 y 轴上投影分别进行 n 等分[5]， n 很明显这种分割方法能保证小区域直径的最大值
首先将整个区域 D 分为 D1 和 D2 两部分，然后保持 D1 不变，再将 D2 进行分割，很明显在这种情况下不能保证每 个小区域 i 的直径的最大值 ( T ) 0 ，因为 D1 的直径 是保持不变的。所以用分割的份数 n 来替代小区域直 径的最大值 ( T ) 0 是不可行的。 2.2 每个小区域 i 的面积的最大值 s 0 如果某个小区域是很细很长的，虽能保证小区域 i 的面积的最大值 s 0 ，但不能保证小区域直径的最大值

1 n2
i n
i 1
n
1 n( n 1) 1 2 2
(n )
在这种分割方法下，点 ( i , i ) 的选取不同，积分和不 同，所以积分和是没有极限的。 而 实 际 上 由 于 被 积 函 数 xy 在 闭 区 域 D : 0 x 1,
0 y 1 上是连续的，所以
D 上的函数。 J 是一个确定的数，若对任给的正数 ，总
存在某个正数 ，使对于 D 的任何分割 T ，当它的细度
关于二重积分的定义，最常见的有以下两种形式。 定义 1[1,2] 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 , 2 , , n ，其 中 i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积。在每个 i 上任取一点 (i , i ) ，作乘积 f (i , i ) i (i 1, 2, , n) ， 并作和
（责任编辑、校对：赵光峰）
-6-
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f ( , )
i 1 i i i i 1
n
n
n i i 1 f ( , 0) i 0 0 n n n i 1
(4)
f ( x, y)dxdy
D
max xi 0 i max y j 0
lim
f ( x , y )x y
i j i j

D
f ( x, y ) d ，
即

D
f ( x, y )d lim f (i , i ) i
0
i 1
n
(1)
定义 2[3]
设 f ( x, y ) 是定义在可求面积的有界闭区域
────────── 收稿日期：2014-06-16 作者简介：刘春霞（1981-） ，女，山东滨州人，硕士，讲师，研究方向为装箱问题。
j
而当点 (i , i ) 选取为每个长方形的右顶点 (i / n, 1) 时，积 分和为
其中 xi xi 1 xi ， y j y j 1 y j 。 （ 2）
f ( , )
i 1 i i i i 1
n
n
n i i 1 f ( , 1) i 1 n n n i 1
用平行于 x 轴、 y 轴的直线网对 D 进行分割；用平行于 x 轴、 y 轴的直线网对 D 在 x 轴、 y 轴上投影分别进行 n 等分（ n ）作了分析，前两种分割是不可行的，后两种是可行的，并通过实例进行了验证。 关键词：二重积分；定义；注记 中图分类号： O172.2 A 文献标识码： 文章编号：1009-9115(2014)05-0005-02 DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2014.05.003
第 36 卷第 5 期 Vol.36 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2014 年 9 月 Sep. 2014
关于二重积分定义的注记
刘春霞，郭 萍，张艳敏
266106） （青岛理工大学 琴岛学院，山东 青岛
摘
要： 对二重积分的定义中的 ( T ) 0 分四种情况：分割的份数 n ； i 面积的最大值 s 0 ；
T 时，属于 T 的所有积分和都有
f ( , )
i 1 i i
n
i
J
(2)
则称 f ( x, y ) 在 D 上可积，数 J 称为函数 f ( x, y ) 在 D 上的 二重积分，
f ( , )
i 1 i i
n
i
。
J f ( x, y )d
xydxdy
D
是存在的，且
xydxdy dx
D 0
1
1
0
xydy
1
[4] 宋泽成 . 二重积分的等价定义及应用 [J]. 唐山师范学院 学报,2009,31(2):42-45. [5] 翁慧明 . 关于二重积分的定义和可积性 [J]. 丽水师专学 报(自然科学版),1989,10(2):16-21. [6] 费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解(6)[M]. 济南:山东科学技术出版社,2005:2.
f ( , ) f ( n , n ) n n n
i 1 i i i i , j 1 i i , j 1
n
n
i
j
n
i j 1
2

n 2 (n 1) 2 1 ( n ) 4 4n 4
(7)
经过以上分析，二重积分定义也可以用以下形式表示 （ 1）
-5-
第 36 卷第 5 期
的最大值 ( T ) 0 有没有其它的替代形式呢？ 2
唐山师范学院学报
2014 年 9 月
显然，当 D 在 x 轴、 y 轴上投影的分割的长度最大值
( T ) 0 的可能替代形式分析 2.1 分割的份数 n
x 0、y 0 时，能保证小区域直径的最大值 ( T )
分割方法：对 0 x 1 进行 n 等分，而对 0 y 1 不进 行任何分割 (n ) ，此时的分割份数 n ，每个小区 域 i 的面积的最大值 s 0（ i 的面积为 i 1/ n ） 。 当点 (i , i ) 选取为每个长方形的右下点 (i / n, 0) 时， 积分和为
( T ) 0 ，所以用这种分割方法来代替小区域直径的最
大值 ( T ) 0 是可行的。 参见例 1[6]。 2.5 直线网格正方形分割 用直线网
( T ) 0 。所以用小区域面积的最大值 s 0 来代替小
区域直径的最大值 ( T ) 0 是不可行的。 例 1 D :0 x 1, 0 y 1 ，计算
A Note on the Definition of Double Integral
LIU Chun-xia, GUO Ping, ZHANG Yan-min
(Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266106, China) Abstract: In this paper, the double integral definition of which tends to zero points in four cases were analyzed. The number of copies segmentation n tends to infinity; the maximum of i area s tends to zero; in parallel to the X axis and Y axis linear network for D segmentation; in parallel to the X axis and Y axis of linear network D projection on the X axis and Y axis n equal, respectively. The first two kinds of segmentation are not feasible, the latter two are feasible, and is verified by an example. Key Words: double integral; definition; note 1 引言 设 f ( x, y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数。
f ( x, y)dxdy lim f ( , )
D n i 1 i i
n
i
其中 n 是指用平行于 x 轴、y 轴的直线网对 D 在 x 轴、y 轴 (5) 上投影分别进行 n 等分。 [参考文献] [1] 同济大学数学系 . 高等数学 [M]. 北京 : 高等教育出版社 , 2007:134. [2] 杨中兵 , 孙素清 , 朱贵凤 , 李劲松 . 高等数学 ( 理工类 )[M]. 沈阳:东北大学出版社,2009:162. [3] 华东师范大学数学系 . 数学分析 [M]. 北京 : 高等教育出 版社,2010:227.
D
(3)
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，这 和的极限总存在， 则称此极限为函数 f ( x, y ) 在闭区域 D 上 的二重积分，记作
其中分割 T 的细度是指（ di 为 i 的直径）
T max d i 。
1 i n
这两个概念都是通过“分割、近似、求和、取极限” 的基本思想得到的，虽然在形式上有所区别，但实质上是 一样的。在定义中都有很关键的两点要求：第一，每个小 区域 i 的直径的最大值 ( T ) 0 ；第二，点 (i , i ) 的 选取是任意的。其中第二条选取点 (i , i ) 的任意性是必要 的 [4] ，无可替代的；那么第一条中每个小区域 i 的直径