基于损伤本构的齿轮疲劳模型_徐鹤鸣
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Journal of Mechanical Strength
2017 ， 39 （ 2 ） ： 417422 DOI： 10. 16579 / j． issn． 1001. 9669. 2017. 02. 029
基于损伤本构的齿轮疲劳模型
*
A NEW FATIGUE MODEL OF GEAＲ BASED ON CONSTITUTIVE THEOＲY OF DAMAGE
引言
在航空领域 齿轮是使用面广量大的传动元件 ， 的应用尤为广泛。对于飞机而言， 齿轮的疲劳寿命显 得相当重要， 齿轮的失效将直接影响机械传动 ， 从而影 响整个服役过程， 轮齿折断是其主要失效方式， 因此对 齿轮弯曲应力的准确分析以及对齿轮弯曲疲劳寿命的 ［2 ］ ［3 ］199 。 合理估算显得尤为重要 齿轮作为一种高度成熟标准件， 但是目前齿轮的 弯曲 疲 劳 寿 命 估 算 大 多 采 用 传 统 的 应 力 疲 劳 方 ［4 ］913 ， 法 先通 过 传 统 的 经 验 公 式 估 算 出 齿 轮 弯 曲 应 N 曲线预测齿轮的寿命， 力， 再利用材料的 S这种方法 虽然简单， 但有很大的缺陷， 首先传统的经验公式计算
摘要 Chaboche 塑性损伤理论， 在损伤本构模型基础上 ， 依据 Lemaitre建立了一种新的齿轮材料疲劳损伤模型 ， 导
出了齿轮材料的疲劳寿命理论方程 ， 结果表明基于损伤本构的疲劳损伤模型正确反映了材料属性 、 三轴应力比、 应力幅 N 曲线形 值水平对疲劳寿命的影响 ， 而且给出了这种新的理论疲劳理论模型算例验证 ， 分析了该模型与传统名义应力 S式的统一性， 为预测齿轮材料的寿命提供了一种新的途径 。 关键词 Abstract 齿轮弯曲应力 O34 有限元分析 LemaitreChaboche 塑性损伤理论 疲劳损伤模型 疲劳寿命 中图分类号
418
机
械
强
度
·
2017 年
弹塑性有限元分析或其它近似计算方法 （ Neuber 法、 修正的 Neuber 法等） 得到危险部位的局部应力应变谱 来估算寿命。应力场强法则是通过危险部位的应力场 N 曲线和累积损伤理论来估算疲劳 强度历程， 结合 S寿命。断裂力学法主要是用断裂理论来求解含裂纹结 构的裂纹扩展寿命。能量法则以能量耗散的观点进行 疲劳损伤分析。各种疲劳寿命估算方法由于出发点和 依据不同， 估算出的疲劳寿命各有差异， 有一定的适用 范围， 并不能完全互相取代。 齿轮疲劳寿命问题属于高周疲劳， 没有明显的宏 N 观塑形形变， 往往应力水平较低， 采取以往的传统 S寿命曲线预测需要进行复杂的修正
［8 ］
和能量法
［9 ］
* 20150702 收到初稿，20150719 收到修改稿。机械结构力学及控制国家重点实验室基金 （ 0215G01 ） ，江苏高校优势学科建设工程项目资助。 ＊徐鹤鸣，男，1990 年 9 月生，江苏人，汉族。南京航空航天大学硕士研究生，从事工程问题力学建模与计算机仿真方向研究。 ＊ ＊ ＊ ＊黄再兴 （ 通信作者） ，男，1966 年 8 月生，湖北人，汉族。南京航空航天大学教授，博导，主要从事固体力学方向研究。
［1 ］
SN 疲劳曲线的获取非 齿轮弯曲应力存在较大误差， 常困难， 试验成本昂贵， 而且每一种齿轮的材料可能都 不尽相同， 只能采用相似的材料代替， 这就给齿轮寿命 。 预测带来很大的误差 疲劳问题的研究已有百年历 史， 因为疲劳的机理尚未完全明确， 人们还是无法精确 ［5 ］ 的控制疲劳断裂事故的发生 。 往往工程上， 构件疲劳寿命分析方法主要有名义 ［4 ］913 ［6 ］ ［7 ］ 、 局部应力应变法 、 应力场强法 、 断裂 应力法 等。 名义应力法通常是以结构 危险点的名义应力作为出发点， 应用载荷计数统计方 N 曲线和累积损伤理论， 法并结合结构材料的 S来估 算结构的疲劳寿命。局部应力应变法是估算疲劳裂纹 形成寿命的方法， 结合材料的循环应力应变曲线， 通过 力学法
（ 12 ） 本文使用循环次 由于损伤随着载荷循环而积累， 数定义疲劳寿命。疲劳损伤的演化依赖于循环的载荷 等效应力 σ p 、 当时的损伤 D 等， 分量 σ m 、 即损伤随载 荷循环 N 的演化方程为 δD ( = σm ， D， …) = σp ， δN
p 和 T， 且假设为 － y 的指数函数和 p 的一次函
多轴应力作用下齿轮弯曲寿命分析 齿轮在啮合过程中， 由于啮合点的变化， 齿根的主
应力方向在不停地发生着变化， 即齿根部位所受应力 为多轴应力， 但是容易想到， 当载荷作用于齿顶， 且为 单齿啮合时， 齿根的应力最大， 且每次齿轮啮合经过此 点时， 主应力的方向不发生变化， 这样齿轮的多轴疲劳
［13 ］ 问题可以简化为多轴比例加载下的疲劳问题 。 在本模型中， 外载荷为周期性的振动载荷， 齿轮只
图2 Fig． 2
三轴应力比 λ 对材料疲劳寿命的影响
The influence of triaxial stress ratio λ on fatigue life
［10 ］8389
·
数
， 即 p， T） = f * （ y，
·
χ －y s0 + 1 χ
( )
s0 + 1
·
p
wenku.baidu.com（ 2）
·
y 为与损伤变量 D 功共轭的广义热力学力， p为 其中， s0 为材料参数。 T 为温度， χ、 累积塑性应变率， 由于齿轮出于安全设计原则， 在工况载荷下， 应力 一般不会大于屈服应力， 材料在宏观上没有明显的宏 观塑性变形， 只是在细观上产生缺陷， 故本文将耗散势 写为 χ －y p， T） = f （ y， s0 + 1 χ
［3 ］199
D =－
f = y
*
( －χ y )
s0
（ 4）
其中，－ y 的物理意义类似于线弹性断裂力学中的能 量释放率 1 （ 5） y = － ε∶ C∶ ε 2 －1 引入柔度张量 L = C ， 由公式（ 1 ） 可知 1 σ∶ L∶ σ y =－ （ 6） 2 ( 1 － D) 2 对各向同性材料而言 1 +ν ν L ijkl = （ δ ik δ jl + δ il δ jk ） － δ ij δ kl （ 7） E 2E 将应力张量用偏应力张量 S 和静水压力 σ m 表示 σm + S （ 8） σ = σm σm 偏应力张量 S 为 S ij = σ ij － σ m δ ij ，δ ij =
( )
s0 + 1
（ 3）
( [
2
σp 2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） 2 χE 3 σp
0
( ) ])
2
－s0
× （ 14 ）
由正交法则得到损伤演化方程为
( 2s
+ 1 ) －1
第 39 卷第 2 期
徐鹤鸣 等： 基于损伤本构的齿轮疲劳模型
419
2
2. 1
齿轮的弯曲疲劳寿命分析与计算
。 本文从损伤
力学的角度， 建立了含损伤的本构模型， 基于 LemaitreChaboche 塑形损伤理论， 建立了一种新的齿轮材料疲 劳损伤模型， 在有限元应力分析基础上， 来估算齿轮的 弯曲疲劳寿命， 分析了多轴应力作用下， 三轴应力比和 应力幅值水平对疲劳寿命的影响 ， 并给出具体的算例， 该模型为齿轮的弯曲疲劳寿命理论预测计算提供了新 的思路。
* ·
(
σp 2 χ E （ 1 － D）
2
2
[
2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） 3 σp
( ) ])
2
s0
（ 13 ） 对式（ 13 ） 积分， 并利用假定， 初始加载 N = 0 时， D = 初始损伤为零 D = 0 和 N = N F 时损伤达到极限， 1， 得到疲劳寿命 N F 的表达式 NF =
{1 0
i = j i≠j
（ 9）
1
损伤疲劳模型的建立
损伤通常伴随着蠕变和热效应
［10 ］8389
将公式（ 7 ） 和式（ 8 ） 代入公式（ 6 ） 中得 2 σp 2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） y =－ 2 E （ 1 － D） 2 3 σp
[
( )]
2
， 对于齿轮
金属材料来说， 一般可忽略不计。 按照连续介质损伤 力学的观点， 疲劳累积损伤是在交变载荷作用下 ， 材料 内部结构不可逆变化过程的宏观连续变量
· *
将式（ 10 ） 代入式（ 4 ） 中损伤演化方程中 s0 · = D = －y χ
槡
3( － 3 σ m 2 ) 1 / 2 （ 11 ） 2 σ ij σ ij
( )
(
σp 2 χ E （ 1 － D）
2
2
[
2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） 3 σp
( ) ])
2
s0
A new fatigue damage model is established by introducing an isotropic damage variable into the Lemaitre-
Chaboche plastic damage theory． Based on this model，a fatigue life equation is determined，that can reasonably characterize the influence of the material property， triaxial stress ratio and stress amplitude on the fatigue life of material． The fatigue life of gears is investigated． The results show that theoretical prediction fits well with the SN curve given by practical measuring． Key words life Corresponding author： HUANG ZaiXing，Email： huangzx@ nuaa． edu． cn，Fax： + 86 25 84891073 The project supported by the Science Foundation of State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures （ No． 0215G01 ） ，and the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions． Manuscript received 20150702 ， in revised form 20150719． Gear bending stress； Finite element analysis； Plastic damage theory； Fatigue damage model； Fatigue
＊ 徐鹤鸣 ＊ ＊ ＊ 黄再兴 ＊ 强
磊
萧
业
（ 南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室 ，南京 210016 ） XU HeMing HUANG ZaiXing QIANG Lei XIAO Ye （ State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures ， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016 ，China）
［11 ］
（ 10 ） 其中， σ p 为 von Mises 等效应力， 其计算公式如下 σp = S ∶ S) (3 2
1 /2
=
， 因此，
本文假定用损伤变量 D 来描述齿轮材料内部微小裂 纹等缺陷的总体特征， 并且认为材料为各向同性， 则损 伤本构方程为 σ = （ 1 － D） C ∶ ε （ 1） C 为弹性张量， 式中， σ 为 Cauchy 应力， ε 为总应变。 LemaitreChaboche 塑性损伤理论中认为， 在塑性 和损伤均为各向同性的情况下， 耗散势 f 仅依赖于 y，
2017 ， 39 （ 2 ） ： 417422 DOI： 10. 16579 / j． issn． 1001. 9669. 2017. 02. 029
基于损伤本构的齿轮疲劳模型
*
A NEW FATIGUE MODEL OF GEAＲ BASED ON CONSTITUTIVE THEOＲY OF DAMAGE
引言
在航空领域 齿轮是使用面广量大的传动元件 ， 的应用尤为广泛。对于飞机而言， 齿轮的疲劳寿命显 得相当重要， 齿轮的失效将直接影响机械传动 ， 从而影 响整个服役过程， 轮齿折断是其主要失效方式， 因此对 齿轮弯曲应力的准确分析以及对齿轮弯曲疲劳寿命的 ［2 ］ ［3 ］199 。 合理估算显得尤为重要 齿轮作为一种高度成熟标准件， 但是目前齿轮的 弯曲 疲 劳 寿 命 估 算 大 多 采 用 传 统 的 应 力 疲 劳 方 ［4 ］913 ， 法 先通 过 传 统 的 经 验 公 式 估 算 出 齿 轮 弯 曲 应 N 曲线预测齿轮的寿命， 力， 再利用材料的 S这种方法 虽然简单， 但有很大的缺陷， 首先传统的经验公式计算
摘要 Chaboche 塑性损伤理论， 在损伤本构模型基础上 ， 依据 Lemaitre建立了一种新的齿轮材料疲劳损伤模型 ， 导
出了齿轮材料的疲劳寿命理论方程 ， 结果表明基于损伤本构的疲劳损伤模型正确反映了材料属性 、 三轴应力比、 应力幅 N 曲线形 值水平对疲劳寿命的影响 ， 而且给出了这种新的理论疲劳理论模型算例验证 ， 分析了该模型与传统名义应力 S式的统一性， 为预测齿轮材料的寿命提供了一种新的途径 。 关键词 Abstract 齿轮弯曲应力 O34 有限元分析 LemaitreChaboche 塑性损伤理论 疲劳损伤模型 疲劳寿命 中图分类号
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机
械
强
度
·
2017 年
弹塑性有限元分析或其它近似计算方法 （ Neuber 法、 修正的 Neuber 法等） 得到危险部位的局部应力应变谱 来估算寿命。应力场强法则是通过危险部位的应力场 N 曲线和累积损伤理论来估算疲劳 强度历程， 结合 S寿命。断裂力学法主要是用断裂理论来求解含裂纹结 构的裂纹扩展寿命。能量法则以能量耗散的观点进行 疲劳损伤分析。各种疲劳寿命估算方法由于出发点和 依据不同， 估算出的疲劳寿命各有差异， 有一定的适用 范围， 并不能完全互相取代。 齿轮疲劳寿命问题属于高周疲劳， 没有明显的宏 N 观塑形形变， 往往应力水平较低， 采取以往的传统 S寿命曲线预测需要进行复杂的修正
［8 ］
和能量法
［9 ］
* 20150702 收到初稿，20150719 收到修改稿。机械结构力学及控制国家重点实验室基金 （ 0215G01 ） ，江苏高校优势学科建设工程项目资助。 ＊徐鹤鸣，男，1990 年 9 月生，江苏人，汉族。南京航空航天大学硕士研究生，从事工程问题力学建模与计算机仿真方向研究。 ＊ ＊ ＊ ＊黄再兴 （ 通信作者） ，男，1966 年 8 月生，湖北人，汉族。南京航空航天大学教授，博导，主要从事固体力学方向研究。
［1 ］
SN 疲劳曲线的获取非 齿轮弯曲应力存在较大误差， 常困难， 试验成本昂贵， 而且每一种齿轮的材料可能都 不尽相同， 只能采用相似的材料代替， 这就给齿轮寿命 。 预测带来很大的误差 疲劳问题的研究已有百年历 史， 因为疲劳的机理尚未完全明确， 人们还是无法精确 ［5 ］ 的控制疲劳断裂事故的发生 。 往往工程上， 构件疲劳寿命分析方法主要有名义 ［4 ］913 ［6 ］ ［7 ］ 、 局部应力应变法 、 应力场强法 、 断裂 应力法 等。 名义应力法通常是以结构 危险点的名义应力作为出发点， 应用载荷计数统计方 N 曲线和累积损伤理论， 法并结合结构材料的 S来估 算结构的疲劳寿命。局部应力应变法是估算疲劳裂纹 形成寿命的方法， 结合材料的循环应力应变曲线， 通过 力学法
（ 12 ） 本文使用循环次 由于损伤随着载荷循环而积累， 数定义疲劳寿命。疲劳损伤的演化依赖于循环的载荷 等效应力 σ p 、 当时的损伤 D 等， 分量 σ m 、 即损伤随载 荷循环 N 的演化方程为 δD ( = σm ， D， …) = σp ， δN
p 和 T， 且假设为 － y 的指数函数和 p 的一次函
多轴应力作用下齿轮弯曲寿命分析 齿轮在啮合过程中， 由于啮合点的变化， 齿根的主
应力方向在不停地发生着变化， 即齿根部位所受应力 为多轴应力， 但是容易想到， 当载荷作用于齿顶， 且为 单齿啮合时， 齿根的应力最大， 且每次齿轮啮合经过此 点时， 主应力的方向不发生变化， 这样齿轮的多轴疲劳
［13 ］ 问题可以简化为多轴比例加载下的疲劳问题 。 在本模型中， 外载荷为周期性的振动载荷， 齿轮只
图2 Fig． 2
三轴应力比 λ 对材料疲劳寿命的影响
The influence of triaxial stress ratio λ on fatigue life
［10 ］8389
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， 即 p， T） = f * （ y，
·
χ －y s0 + 1 χ
( )
s0 + 1
·
p
wenku.baidu.com（ 2）
·
y 为与损伤变量 D 功共轭的广义热力学力， p为 其中， s0 为材料参数。 T 为温度， χ、 累积塑性应变率， 由于齿轮出于安全设计原则， 在工况载荷下， 应力 一般不会大于屈服应力， 材料在宏观上没有明显的宏 观塑性变形， 只是在细观上产生缺陷， 故本文将耗散势 写为 χ －y p， T） = f （ y， s0 + 1 χ
［3 ］199
D =－
f = y
*
( －χ y )
s0
（ 4）
其中，－ y 的物理意义类似于线弹性断裂力学中的能 量释放率 1 （ 5） y = － ε∶ C∶ ε 2 －1 引入柔度张量 L = C ， 由公式（ 1 ） 可知 1 σ∶ L∶ σ y =－ （ 6） 2 ( 1 － D) 2 对各向同性材料而言 1 +ν ν L ijkl = （ δ ik δ jl + δ il δ jk ） － δ ij δ kl （ 7） E 2E 将应力张量用偏应力张量 S 和静水压力 σ m 表示 σm + S （ 8） σ = σm σm 偏应力张量 S 为 S ij = σ ij － σ m δ ij ，δ ij =
( )
s0 + 1
（ 3）
( [
2
σp 2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） 2 χE 3 σp
0
( ) ])
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－s0
× （ 14 ）
由正交法则得到损伤演化方程为
( 2s
+ 1 ) －1
第 39 卷第 2 期
徐鹤鸣 等： 基于损伤本构的齿轮疲劳模型
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2. 1
齿轮的弯曲疲劳寿命分析与计算
。 本文从损伤
力学的角度， 建立了含损伤的本构模型， 基于 LemaitreChaboche 塑形损伤理论， 建立了一种新的齿轮材料疲 劳损伤模型， 在有限元应力分析基础上， 来估算齿轮的 弯曲疲劳寿命， 分析了多轴应力作用下， 三轴应力比和 应力幅值水平对疲劳寿命的影响 ， 并给出具体的算例， 该模型为齿轮的弯曲疲劳寿命理论预测计算提供了新 的思路。
* ·
(
σp 2 χ E （ 1 － D）
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[
2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） 3 σp
( ) ])
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s0
（ 13 ） 对式（ 13 ） 积分， 并利用假定， 初始加载 N = 0 时， D = 初始损伤为零 D = 0 和 N = N F 时损伤达到极限， 1， 得到疲劳寿命 N F 的表达式 NF =
{1 0
i = j i≠j
（ 9）
1
损伤疲劳模型的建立
损伤通常伴随着蠕变和热效应
［10 ］8389
将公式（ 7 ） 和式（ 8 ） 代入公式（ 6 ） 中得 2 σp 2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） y =－ 2 E （ 1 － D） 2 3 σp
[
( )]
2
， 对于齿轮
金属材料来说， 一般可忽略不计。 按照连续介质损伤 力学的观点， 疲劳累积损伤是在交变载荷作用下 ， 材料 内部结构不可逆变化过程的宏观连续变量
· *
将式（ 10 ） 代入式（ 4 ） 中损伤演化方程中 s0 · = D = －y χ
槡
3( － 3 σ m 2 ) 1 / 2 （ 11 ） 2 σ ij σ ij
( )
(
σp 2 χ E （ 1 － D）
2
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[
2 σm （ 1 + ν） + 3 （ 1 － 2 ν） 3 σp
( ) ])
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s0
A new fatigue damage model is established by introducing an isotropic damage variable into the Lemaitre-
Chaboche plastic damage theory． Based on this model，a fatigue life equation is determined，that can reasonably characterize the influence of the material property， triaxial stress ratio and stress amplitude on the fatigue life of material． The fatigue life of gears is investigated． The results show that theoretical prediction fits well with the SN curve given by practical measuring． Key words life Corresponding author： HUANG ZaiXing，Email： huangzx@ nuaa． edu． cn，Fax： + 86 25 84891073 The project supported by the Science Foundation of State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures （ No． 0215G01 ） ，and the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions． Manuscript received 20150702 ， in revised form 20150719． Gear bending stress； Finite element analysis； Plastic damage theory； Fatigue damage model； Fatigue
＊ 徐鹤鸣 ＊ ＊ ＊ 黄再兴 ＊ 强
磊
萧
业
（ 南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室 ，南京 210016 ） XU HeMing HUANG ZaiXing QIANG Lei XIAO Ye （ State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures ， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016 ，China）
［11 ］
（ 10 ） 其中， σ p 为 von Mises 等效应力， 其计算公式如下 σp = S ∶ S) (3 2
1 /2
=
， 因此，
本文假定用损伤变量 D 来描述齿轮材料内部微小裂 纹等缺陷的总体特征， 并且认为材料为各向同性， 则损 伤本构方程为 σ = （ 1 － D） C ∶ ε （ 1） C 为弹性张量， 式中， σ 为 Cauchy 应力， ε 为总应变。 LemaitreChaboche 塑性损伤理论中认为， 在塑性 和损伤均为各向同性的情况下， 耗散势 f 仅依赖于 y，