成都树德中学数学全等三角形单元测试卷附答案

成都树德中学数学全等三角形单元测试卷附答案
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝22，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP=2OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP=2，
∴P 点坐标为（2，0）.
（2）当点P 在x 轴负半轴上，
③以OA 为腰时，
∵A 的坐标是（2，2），
∴OA ＝22，
∴OA ＝OP ＝22，
∴P 的坐标是（﹣22，0）．
综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.
【答案】80或100
【解析】
【分析】
根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，
,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.
【详解】
由题意可分如下两种情况：
（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，
1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠
（等边对等角），
两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，
又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠
20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒
，
由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒
，
80BAC ∴∠=︒
；
（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，
3,4B C ∴∠=∠∠=∠
（等边对等角），
两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，
又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，
3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒
，
20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒
由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒
，
100BAC ∴∠=︒
.
故答案为80或100.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.
3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，
∆为等腰三角形，符合条件的C点有36
∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABC
ABO
__________个．
【答案】8
【解析】
【分析】
观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】
解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，
但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．
∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；
②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902
BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2
AD AB AC BC =
+-.其中正确的结论是.__________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12
∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得
④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =
12
mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．
【详解】
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=1
2
∠ABC，
∠OCB=1
2
∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣
1
2
∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+1
2
∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=1
2
AE•OM+
1
2
AF•OD=
1
2
OD•（AE+AF）=
1
2
mn；故④错误；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；
∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；
同理可证：BM=BN，CD=CN．
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=1
2
（AB+AC﹣BC）故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧交于
点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)
【答案】4【解析】
【分析】
①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出
∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=
1
2
AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵
AN AM
NP MP
AP AP
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，∴△ANP≌△AMP，则
∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=
1
2
∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；
④∵在Rt△ACD
中，∠2=30°，∴CD=
1
2
AD，∴BC=BD+CD=AD+
1
2
AD=
3
2
AD，S△DAC=
1
2
AC•CD=
1
4
AC•AD，∴S △ABC
=
1
2
AC•BC=
1
2
AC•
3
2
AD=
3
4
AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．
故答案为①②③④．
本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.
【详解】
以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：
∵等边三角形BDG ，等边三角形DEF ∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG ，DE=DF=EF
∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD ，即∠BDF=∠GDE
∴△BDF ≌△GDE （SAS ）
∴BF=GE
当GE ⊥AC 时，GE 有最小值，如图所示GE′，作DH ⊥GE′
∴BF=GE= CD+
12
DG=2+1=3 故答案为：3.
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.
7．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ∆周长的最小值为_______.
【答案】10
【解析】
【分析】
作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR 周长的最小值
【详解】
解：
作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，
则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，
∴△PQR 周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，
∴此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，
∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB ，PP″⊥OA ，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，
∴△P′OP″为等边三角形，
∴P′P″=OP′=OP=10，
故答案是：10.
【点睛】
本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC 和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.
【答案】20°或40°
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则
BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得
∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=1
2
（180°-∠C'PQ）=90°-
1
2
θ，分三种情况讨论，利
用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】
如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，
∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，
∴∠BPQ=1
2
（180°-∠C'PQ）=90°-
1
2
θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，
∴90°-1
2
θ+2×（30°+θ）=180°，
解得θ=20°；
②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，
即90°-1
2
θ=30°+θ，
解得θ=40°；
③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-1
2θ，
又∵∠BQP=30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-1
2
θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），
故答案为：20°或40°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．
9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是
______________．
【答案】
2018
1
80 2
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性
质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A 2019为顶点的内角度数．
【详解】
解：∵在△CBA 1中，∠B=20°，A 1B=CB ，
∴∠BA 1C=°180-2
B ∠=80°， ∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1
C 是△A 1A 2
D 的外角，
∴∠DA 2A 1=
12∠BA 1C=12
×80°； 同理可得∠EA 3A 2=（12）2×80°，∠FA 4A 3=（12）3×80°， ∴第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是（
12
） n-1×80°． ∴第2017个三角形中以A 2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°， 故答案为：（
12
） 2018×80°． 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
10．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.
【详解】
延长BD 交AC 于点E ，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=900，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD
又∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴BD=ED,CE=BC=5，
∴AE=AC-CE=8-5=3，
∠=∠,
∵A ABD
∴BE=AE=3，
∴BD=1.5
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；
③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
故选C
12．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．
【详解】
解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=
∴45CAB ABC ︒∠=∠=
∵AD 平分BAC ∠
∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=
∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=
∴EAF FBC ∠=∠
∴ADC BFC ≅
∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；
∵CD=CF，
∴AC+CD=AC+CF=AF
∵67.5F ︒∠=
∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；
由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，
∵BE AD ⊥
∴12
BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；
∵三角形ABF 是等腰三角形，
∵BE AD ⊥
∴12
BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
13．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）
A ．90α+
B ．1902α+
C ．180α-
D ．1802α-
【答案】D
【解析】
【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.
【详解】
解：
过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.
此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°
） 所以 x°
=180°-2α 【点睛】
求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.
14．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（ ）
A ．120°
B ．75°
C ．60°
D ．30°
【答案】C
【解析】
【分析】 分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.
【详解】
∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，
∠AOC=30︒，
当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30︒，
当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒，
当OC=OE 时，∠OEC=12
（180COE ∠︒- ）=75︒， ∴∠OEC 的度数不能是60°，
故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.
15．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到
∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．
【详解】
解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
AC BC ACD BCE CD CE ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ；故①正确；
②设CD 与BE 交于F ，
∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠ADC=∠BEC ，
∵∠CFE=∠DFO ，
∴∠DOE=∠DCE=α，
∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；
③∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC
又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，
∴AM=
12AD ，BN=12
BE ， ∴AM=BN ，
在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），
∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，
又∠ACB=α，
∴∠ACM+∠MCB=α，
∴∠BCN+∠MCB=α，
∴∠MCN=α，
∴△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，
∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH ，CE=CD ，
∴△CGE ≌△CHD （AAS ），
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
16．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到
∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．
∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；
∵PA=PA，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得：△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．
又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．
∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正确．
∵①②③④都正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
17
．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结
论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第4
3
秒或第
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．
②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．
【详解】
①在等边△ABC中，AB=BC．
∵点P、Q的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴BP=CQ．
只有当CM=CQ时，BP=CM．
故①错误；
②∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵
AB CA
ABQ CAP AP BQ
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故②正确；
③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故③正确；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=4
3，
当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=8
3，
∴当第4
3
秒或第
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形．
故④正确．
正确的是②③④，
故选C．
【点睛】
此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
18．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【解析】
【分析】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点
时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，
∵PP 1关于OA 对称，∠MPN=110°
∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP 1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM ，
同理可得：∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，
∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ，
∴△P 1OP 2是等腰三角形．
∴∠OP 2N=∠OP 1M ，
∴∠P 1OP 2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A ．
【点睛】
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P 1OP 2是等腰三角形是．
19．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）
A ．132︒
B ．130︒
C ．112︒
D ．110︒
【答案】C
【解析】
【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.
【详解】
如图，连接OB 、OC ，
∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线
∴11562822
BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =，
∴()()
11180180566222
ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴OA OB =．
∴28ABO BAO ︒∠=∠=，
∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=
∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线
∴点О是ABC △的外心，
∴OB OC =，
∴34OCB OBC ︒∠=∠=，
∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合
∴OE CE =，
∴34COE OCB ︒∠=∠=，
在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.
20．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．
∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．
故本选项正确；
②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；
③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分
∠BAC．故本选项正确；
④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．
故本选项正确；
其中正确的是①③④．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．。