球的内切和外接问题课件

2 2
2 3 6 ，解得R 在RtAOO1中，由勾股定理得， R2 R , 3 3 4 4 4 6 6 V球 R 3 . 3 3 4 8
3
六、寻求轴截面圆半径法 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长 都为 2 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .
五、构造直角三角形 例13、求棱长为1的正四面体外接 球的体积．
解：设SO1是正四面体S ABCD的高，外接球的球心 O在SO1上，设外接球半径为 R, AO1 r , 则在ABC中，用解直角三角形知 识得，r 3 1 2 2 , 从而SO1 SA2 AO1 1 , 3 3 3
D
S
C O1 B
解 2 心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质， 可得 OO1 平面ABCD 1 又 SO1 平面ABCD ，∴球心O必在 SO所在的直线上 . ASC ∴ 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外 ASC SA SC 2 , AC 2, 得 接圆的半径就是外接球的半径 .SA SC AC . 在 中，由 ASC是以AC为斜边的Rt.
C1
A1
2
C1
ห้องสมุดไป่ตู้
B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
S丙 4 R3 2 =3
二、构造法 1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长 均为 3，则其外接球的表面积是 9 变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积等于
二、球与多面体的接、切
图3 图4 图5 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
棱切：
一个几何体各个面分别与另一个几
何体各条棱相切。
球与棱柱的组合体问题 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27 D C A B 中截面 O D1
求正方体外接球的半径
2、在等腰梯形ABCD中，AB 2DC 2, DAB 600， E为AB的中点，将ADE与BEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
4 3 A. 27
D
6 B. 2
C
6 C. 8
D.
6 24
9 2
D
O
A O C
C
A
B
图4
P
B
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A ） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 A B A B
O
D C C
O
D
求正多面体外接球的半径

C1设棱长为1 球的外切正方体的棱长等于球直径。
A1
B1
S甲 4 R1 =
2
D A B
C
球内切于正方体的棱
中截面
O D1 C1

.
S乙 4 R2 =2
2
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。
球外接于正方体
D A O D1 A1
C 对角面
B

A
C
2R 3
O
设棱长为1
2 2 球
2 2 2
6 x 3, x 9 3 2 6 x h , h 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 4 8
8
1 , 2 3．
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．
P
A
E
B
图3
D E
C
已知点A、B、C、D在同一个球面上， AB 平面BCD BC DC 4 AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则B、C两点间的球面距离是 .
A
2、构造长方体
3
O
B
C
D
图 5
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形 ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
如果一个多面体的各个顶点都在同一个 球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 14，故球的表面积为 14 . 变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
一、 球体的体积与表面积
一、直接法
A
C
O
A1
1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球
C1
面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体 积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
125 A. 12
125 B. 9
125 C. 6
D.
125 3
D C B
A
O 图4
四、公式法 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱 9 的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为
解： 3 ∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 d 2 2 .∴外接球的半径 R r d 1,V 4 . 3 小结 本题是运用公式 R r d 求球的半径的，该公式是求球 的半径的常用公式.