对勾函数详细分析(可编辑修改word版)

b a

b a b 对勾函数的性质及应用

一、对勾函数 y = ax + b (a > 0, b > 0) 的图像与性质：

x 1. 定义域： (-∞,0) ⋃ (0,+∞)

2. 值域： (-∞,-2 ab ] ⋃[2 ab ,+∞)

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形

状 ， 且 函 数 图 像 关 于 原 点 呈 中 心 对 称 ， 即

f (x ) + f (-x ) = 0

4. 图像在一、三象限, 当 x > 0 时， y = ax + ≥ 2 x （当且仅当 x = ，即 f (x ) 在 x=

时，取最小值2

由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x ) 在 x= -

时，取最大值- 2

5. 单调性：增区间为（ + ∞ ），（ - ∞,- ）,减区间是（0， ）

，（ - ,0）

二、对勾函数的变形形式

类型一：函数 y = ax + b

(a < 0, b < 0) 的图像与性质

x 1.定义域： (-∞,0) ⋃ (0,+∞)

2.值域： (-∞,-2 ab ] ⋃[2 ab ,+∞)

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.

4. 图像在二、四象限, 当 x<0 时， f (x ) 在 x= 时，取最

小值2 ；当 x > 0 时， f (x ) 在 x= - 时，取最大值- 2

5. 单调性：增区间为（0， ），（ - ,0）减区间是（ + ∞ ）

，（ - ∞,- ）,

类型二：斜勾函数 y = ax + b

(ab < 0)

x

① a > 0, b < 0 作图如下

1.定义域： (-∞,0) ⋃ (0,+∞)

2. 值域：R

3. 奇偶性：奇函数

4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

ab b a

b

a

ab

b a

ab

b , a b a b a b a ab b a

ab b a b a b , a

2 b 2 b

2 b

b

5.单调性：增区间为（- ∞ ，0），（0，+ ∞ ）.

② a < 0, b > 0 作图如下：

1.定义域： (-∞,0) ⋃ (0,+∞)

2. 值域：R

3. 奇偶性：奇函数

4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：减区间为（- ∞ ，0），（0，+ ∞ ）.

类型三：函数

f (x ) = ax 2 + bx + c x

(ac > 0) 。

此类函数可变形为 f (x ) = ax + c + b ，可由对勾函数 y = ax + c

上下平移得到

练习 1.函数 f (x ) =

x x x 2 + x + 1

的对称中心为

x

类型四：函数 f (x ) = x + a x + k

(a > 0, k ≠ 0)

a a

此类函数可变形为 f (x ) = (x + k +

x + k

) - k ，则 f (x ) 可由对勾函数 y = x + 左右平移，上下平移得到

x 练习 1.作函数 f (x ) = x +

1

x - 2

与 f (x ) = x + 3 + x 的草图

x + 2 2. 求函数 f (x ) = x +

1

2x - 4

在(2,+∞) 上的最低点坐标 3. 求函数 f (x ) = x + x

x -1

的单调区间及对称中心

类型五：函数 f (x ) =

ax x 2 + b (a ≠ 0, b > 0) 。此类函数定义域为 R ，且可变形为 f (x ) = a = x 2 + b x

a x +

b x a. 若 a > 0 ，图像如下：

1

1

1．定义域： (-∞,+∞)

2. 值域：[-a ⋅

, a ⋅ ]

3. 奇偶性：奇函数.

4. 图像在一、三象限.当 x > 0 时， f (x ) 在x = 时，取最大值 a ，当 x<0 时，

f (x ) 在 x= - 时，取最小值-

5. 单调性：减区间为（ + ∞ ），（ - ∞,- ）

；增区间是

[- b , b ]

b a 2 b

b , b

a

2 b

b 2 b x + b x + a x + a b - a x + a

x + 3

x -1

2x

练习 1.函数

f (x ) =

x

x 2

+ 1 的在区间[2, +∞) 上的值域为

b. 若 a < 0 ，作出函数图像：

1． 定义域： (-∞,+∞)

2. 值域： [-a ⋅ 1 , a ⋅ 1

]

2 b 2 b

3. 奇偶性：奇函数.

4. 图像在一、三象限.

当 x > 0 时， f (x ) 在x =

当 x<0 时， f (x ) 在 x= - b 时，取最小值- ，

时，取最大值 a

5. 单调性：增区间为（ + ∞ ），（ - ∞,- ）

；减区间是[- b , b ]

练习 1.如 a +1 = -

x 2

+ 4

x ∈(-1, 2) ，则的取值范围是

类型六：函数 f (x ) = ax 2

+ b x + c x + m (a ≠ 0) .可变形为 f (x ) =

a (x + m )2 + s (x + m ) + t x + m = a (x + m ) + t x + m

+ s (at > 0) ， 则 f (x ) 可由对勾函数 y = ax + t x x 2 + x + 1

左右平移，上下平移得到

1

练习 1.函数 f (x ) =

x + 1 由对勾函数 y = x + 向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 x

（填“上”、“下”）平移

单位.

2. 已知 x > -1 ，求函数 f (x ) =

x 2 + 7x + 10

的最小值； x + 1

3. 已知 x < 1 ，求函数 f (x ) =

x 2 + 9x - 9 的最大值

x -1 类型七：函数 f (x ) =

x + m

ax 2

+ bx + c

(a ≠ 0) 练习 1.求函数 f (x ) = x -1

x 2

+ x + 2 在区间(1,+∞) 上的最大值；若区间改为[4,+∞) 则 f (x ) 的最大值为 2.求函数 f (x ) =

x 2

+ 2x + 3 在区间[0,+∞) 上的最大值

x 2 + x + 2

类型八：函数 f (x ) = 练习 1.求函数 f (x ) =

2. 求函数 f (x ) =

.此类函数可变形为标准形式： f (x ) = 的最小值； 的值域；

= + (b - a > 0)

3. 求函数 f (x ) =

类型九：函数 x + 2 的值域 x + 3 x 2 + b

。此类函数可变形为标准形式：

2 b - a f (x ) = (a > 0) x 2 + a f (x ) =

= x + a + (b - a > o ) x 2 + a b , b x + a + b - a x + a x + 5 x + 1 ( x 2 + a )2 + b - a

x 2 + a