求多元函数极限的方法

求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误

【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对

于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2

12(3)

3n n n n a a a a a a

++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则

1

!

lim

!

n

k n k n =→∞

∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常

见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x →

12时函数y =21

x x +的极限。我们列出了当x →12

时某些函数值，考察

从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2

时，y =21

x x +的极限是0.75。

2、利用四则运算法则求极限

例2（1）求2

332

1

lim(4)x x x →-+

（2）221

lim 21

x x x →-+

解（2）221lim 21x x x →-+=222

lim(

1)3lim(21)5

x x x x →→-=+

3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0

1

lim sin

x x x

→ 解因为0

lim x x →=0，且1sin

1x ≤即1sin x

有界，所以01lim sin x x x →=0

4、利用两个重要极限求极限 例4 求11lim sin

lim(1)x x x x x x

→∞

→∞- 解1lim sin x x x →∞=1sin

lim 1x x x

→∞=1（因为x →∞时10x

→）。

令u x =-则当x →∞时u →∞所以1lim(1)x x x →∞-=111

lim(1)lim 1(1)e x u u u e

x

-→∞→∞+==+

也可以直接计算1lim(1)x x x →∞-=11

11lim[(1)]x x e x e

---→∞+==

5、利用初等函数的连续性求极限 例5求2

lim ln sin x x π

→

解：点02

x π=

是初等函数()lnsin f x x =的一个定义区间(0,)π内的点，所以

2

limln sin ln sin

02

x

x x π

→

==

6、利用等价无穷小代换求极限 例6 求01cos lim

ln(12)

x x

x →-+

解：当0x →时，2

11cos 2

x x -≈

，ln(12)2x x +≈ 所以20011cos 2lim

lim 0ln(12)2x x x

x x x

→→-==+ 7、利用罗比达法则求极限 例7 求0

ln sin 2lim ln sin 3x x

x

+

→

解：0ln sin 2lim ln sin 3x x x +→=0cos 22

sin 2lim cos33sin 3x x

x x

x

+→⋅⋅=0sin 3cos 22lim 1sin 2cos33x x x x x +→⋅⋅= 8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限

232(0)()1(01)2(1)

x x f x x x x x ⎧

⎪+≤⎪

=+<≤⎨⎪⎪>⎩

求0lim ()x f x →，1

lim ()x f x →

解：因为0

lim ()x f x -→=0

lim(32)2x x -

→+= 0

lim ()x f x +

→=20

lim(1)x x +→+=1 00

lim ()lim ()x x f x f x -

+

→→≠ 所以0

lim ()x f x +→不存在 因为1

lim ()2x f x →=

1利用极限的定义来验证极限的存在

极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由n x A ε-<或()f x A ε-<去寻找满足条件的充分大的正整数 N 或充分小的正数δ或充分充分的正数 X 。 比如:证明2

2

21

lim

44

x x x →-=- 证明对0ε∀>，要使22144x x ε--<-，只要2221

4442

x x x x ε---=<-+因为2x →，不妨设

21x -<，此时13

x <<，从而

325

x <+<，因此，

221

44

x x ---242

x x --

+<111

224312x x c ⨯---<,于是取min{}δε=，从而

min{1,12}δε∃=，当02x δ<-<时，总有

22144x x ---ε<，从而2221

lim 44

x x x →-=-

2利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)

比如 求1

x →

此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式

解：

1

x →1x →==1112

x →= 3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限

比如 求lim )x x →+∞

本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化,可转化为∞

∞

型将分子分母同时除以 x 的最高次幂变形后求解。